第7章图与网络模型讲述.ppt

管理运筹学课件 第7章 图与网络模型 重庆三峡学院 关文忠 /guanwenzhong 教学目标与要求 【教学目标】 通过对本章的学习，理解图的基本概念；掌握最小支撑树、最短路、最大流、中国邮路问题的求法；会利用相关模型解决合理组织人力、物力、财力的优化问题。 【知识结构】 导入案例——七桥问题 导入案例——四色问题 导入案例 本章主要内容 7.1 图的基本概念 7.2 树图及图的最小支撑树 7.2.1 树图的基本性质 7.2.2 最小支撑树的求法:避圈法和破圈法 案例7-1 印第安那州公路规划问题 7.3 最短路问题 7.3.1 两点间最短路的Dijkstra标号算法 7.3.3 各点间最短路的矩阵算法* 案例7-2 设备更新问题 7.4 中国邮递员问题 案例7-3 货场巡视路线 7.5 网络最大流问题 7.5.1 基本概念 7.5.2 Ford-Fulkerson标号算法 案例7-4 航空公司的最大流量 7.6 最小费用流问题* 7.6.1 最小费用流的数学模型 7.6.2 最小费用最大流的标号算法 案例7-5 货物配送问题 本章小结 7.1.1 图的若干示例 7.1.2 图的基本概念 图（Graph）由点（Vertex）和点之间的连线所构成的集合。不带箭头的连线称为边（Edge）；带前头的连线称为弧（Arc）。点和边的集合称为无向图（Undirected graph），如图7.5(a)，简称图，用G={V，E}表示；点和弧的集合称为有向图（Directed graph），如图7.5(b)，用D={V，A}表示。有向图去掉箭头所形成的无向图称为该有向图的基础图（underlying graph）。 端点，关联边，相邻 若边 e=[u,v]∈E，则称 u,v是e 的端点，称e 是点u或v的关联边。有公共关联边的点称为点相邻；公共端点的边称为边相邻。 环，多重边，简单图，多重图 两个端点重合的边称为环；若两个点之间有多于一条的边，称为多重边；一个无环、无多重边的图称为简单图；一个无环，但允许有多重边的图称为多重图。 7.1.2 图的基本概念 次，奇点，偶点，孤立点，悬挂点，悬挂边 点的关联边的数目称为的次(也称度或线度)，记为d(v)(环在计算时算作两次，称为入次和出次)；次为奇数的点称为奇点；次为偶数的点称为偶点；次为0的点称为孤立点；次为1的点称为悬挂点；与悬挂点相边关联的边称为悬挂边。 【定理7.1】 图中，所有顶点的次之和是边数的2倍。 【定理7.2】 任一个图中，奇点的个数为偶数。 链，圈，路，回路，连通图 点和边的交错序列中，若边各不相同称为链；封闭的链称为圈；在链中如果点也各不相同称为路；起点与终点重合的路称为回路；任意两点之间至少能找到一条链的图称为连通图。 7.1.2 图的基本概念 7.1.2 图的基本概念 7.2.1 树图的概念和性质 树图，简称树，记作T(V,E)：是一类简单而十分有用的图，其定义是无圈的联通图。现实生活中树图随处可见，如管理组织机构图、决策树图、聚类分析的“龙骨图”、磁盘文件存放路径图、家族族谱图、经济管理中的因果分析图（鱼刺图）等等，因其与大自然中的树的特征相似而得名。 下面不加证明地给出树的一些重要性质。性质1 任何树图必存在悬挂点。如图7.8有3个悬挂点。性质2 具有p个点的树图的边数恰好为p-1条边。如图7.8有4个点、3条边。性质3 任何具有p个点条边的联通图是树图。性质4 树图中任意两点之间恰有一条链。性质5 树图中任意两点之间添加一条边正好构成一个圈。 如果图T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑图，又是树图，则称T是G的一个支撑树（或称为部分树）。例如图7.8是图7.6(a)的一个支撑树。 7.2.1 树图的概念和性质 7.2.2 最小支撑树的求法——避圈法 7.2.2 最小支撑树的求法——破圈法 案例7-1 印第安那州公路规划问题 7.3.1 求两点间最短路的Dijkstra标号算法 7.3.1 求两点间最短路的Dijkstra标号算法 7.3.3 求网络各点之间最短路的矩阵计算法* 7.4 中国邮递员问题 抽象为图的语言，就是给定一个连通图，在每边上赋予一个非负的权，要求一个圈，过每边至少一次，并使圈的总权最小。 我国管梅谷教授在1962年首先提出的，因此在国际上通称为中国邮递员问题。 结论1：若网络图上的所有点均为偶点，则邮递员可以走遍所有街道，做到每条街道只走一次而不重复。 结论2：最短的投递路线具有这样的性质：①有奇点连线的边最多重复一次；②在该网络图的每个回路上，有重复的边的长度不超过回路总长的一半。 案例7-3 货场巡视路线 7.5 网络最大流问题 7.5.1 基本概念 1. 容量网络、弧