让学取生在任意和存在之间构建关系(中学数学).doc

让学生在任意与存在之中构建关系和演绎推理 　　　　　　　——对一道高考题的变式探究 董海涛 （安徽省阜阳市第三中学 236000） 由于不等式、方程、函数是交织在一起的有机整体，同时在任意与存在之间构建不等式问题又与高等数学联系紧密，所以不等式问题的解决往往体现着多种数学思想方法的应用，是考查学生综合应用能力、思维灵活性和创新性的有效载体，因此这类问题一直是高考命题的热点和重点，而在任意与存在之间构建相等与不等关系，更是学生感到无所适从的难点，本文从一道高考题出发，通过适当变式，探求关系式的建立。 题目：(2006年湖北卷第21题)　设是函数的一个极值点。 ⑴求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间. ⑵设，。若存在、使得成立，求a的取值范围。 思路分析：⑴略。⑵由⑴得，根据f(x)、g(x)的单调性，可求出f(x)的值域是，g(x)的值域是。显然，，所以。依题设知，只要在上找到、（哪怕分别只找到一个），使成立即可。从图象上看，即y=g(x)图象的最低点比y=f(x)+1图象的最高点低，因此，问题转化为解不等式g(x)minf(x)max+1。 略解：∵g(x)关于x单调递增 ∴ 由可知 当a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减 ∴f(x)max=f(3)=a+6. 依题意知：g(x)min f(x)max+1,即 ∴0a. 为了形成知识网络，下面我们对该题进行多角度、多方面的变式探究，以期在“变”的现象中发现“不变”的本质，在“不变”的本质中探索“变”的规律，从而优化学生的思维品质，培养创新能力。 首先，我们对本题进行“异构变式”。 变式1.是否存在实数，满足以下结论：对任意的实数、使得恒成立。 思路分析：由于、取值的任意性，所以要使得恒成立，必须且只须y=g(x)的图象全部在y=f(x)+1图象最低点的下方，也就是判断g(x)max f(x)min+1能否成立，由在上的单调性可知：=，所以转化为判断1是否有解。由，易知此不等式无解（具体解题过程略，下同）。故不存在使题设成立的实数a。 要区别的是：一般地，在上恒成立，并不要求这样苛刻的条件，而是等价于在上恒成立即可，即g(x)max0即可。 变式2：是否存在实数，满足以下结论：对任意实数总存在使得成立。 思路分析：由于在区间上的取值具有任意性，的取值只要求存在性，故所求问题即为能否保证y=g(x)图象最高点高于y=f(x)+1图象的最高点，即g(x)maxf(x)max+1能否成立，也就是 a+6+1是否有解。易知上式恒成立，故满足题设。 变式3：是否存在实数，满足以下结论：对任意实数总存在使得成立。 思路分析：由于在区间上的取值具有任意性，的取值只要求存在性，所以所求问题等价于能否保证y=g(x)图象的最低点低于y=f(x)+1图象的最低点，即g(x)minf(x)min+1能否成立，也就是1是否有解。易知不存在满足题设。 变式4：是否存在实数，满足以下结论：对任意实数总存在使得成立。 思路分析：对于区间上任意取值的每一个，都会得到一个确定的函数值，要保证总存在与相等，则必须且只须y=g(x)的值域包含y=f(x)+1的值域。于是问题转化为判断g(x)maxf(x)max+1且g(x)minf(x)min+1能否成立,即判断不等式组是否有解。易知不存在满足题设。 变式5：是否存在实数，满足以下结论：存在、使得成立。 思路分析：变式5所求问题即为能否保证y=f(x)+1的值域与y=g(x)的值域的交集非空，即判断f(x)max+1g(x)min且(x)min+1g(x) max是否成立，也就是判断不等式且是否有解。易知不等式的解集为，不等式恒成立，所以存在满足题设。 通过以上变式探究，使学生初步体会到不等式有解与恒成立之间的区别，并且意识到借助函数图象发现不等关系是一种“便捷又务实”的解题方案。为达到对此类问题的深入理解，揭示在各种外形掩饰下的问题的本质，下面我们对例题本身及以上变式进行“同质变式”。 变式6：是否存在实数，满足以下结论：存在、使得成立。 思路分析：变式6与例题本身在本质上属于同一个问题，只是设置了两种不同的设问形式而已（将不等式中的“”改成了“”），我们成为“同质变式”。同例题分析，所求问题即为判断g(x)maxf(x)min+1能否成立，即判断1是否有解。易知此式对是恒成立的。 变式7：是否存在实数，满足以下结论：对任意的实数、使得恒成立。 思路分析：变式7与变式1的内涵也是一样的，属于“同质变式”题。同变式1的分析，所求问题即为判断g(x)minf(x)max+1能否成立，即判断 a+6+1是否有解，易知此式的解为。 需要说明的是：一般地，在上恒成立，并不要求这样苛刻的条件，而是等价于在上恒成立即可，即g(x)min0