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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况 两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0,一个大于0 大致图象() 得出的结论 大致图象() 得出的结论 综合结论(不讨论) 表二:(两根与的大小比较)
分布情况 两根都小于即
两根都大于即
一个根小于,一个大于即
大致图象() 得出的结论 大致图象() 得出的结论 综合结论(不讨论) 表三:(根在区间上的分布)
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内
(图象有两种情况,只画了一种) 一根在内,另一根在内, 大致图象() 得出的结论 或 大致图象() 得出的结论 或 综合结论(不讨论) —————— 根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外,即在区间两侧,(图形分别如下)需满足的条件是
(1)时,; (2)时,
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:
(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:
若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根,因为,所以,另一根为,由得即为所求;
方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:①由即得出;②由即得出或,当时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;综上分析,得出或
根的分布练习题
例1、已知二次方程有一正根和一负根,求实数的取值范围。
解:由 即 ,从而得即为所求的范围。
例2、已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围。
解:由
或即为所求的范围。
例3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围。
解:由 即 即为所求的范围。
例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1,求实数的取值范围。
解:由题意有方程在区间上只有一个正根,则 即为所求范围。
(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内,由计算检验,均不复合题意,计算量稍大)2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨
设,则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况:
即 图象 最大、最小值 对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论:
(1)若,则,;
(2)若,则,
另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开轴越远,则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数在上有最大值5和最小值2,求的值。
解:对称轴,故函数在区间上单调。
(1)当时,函数在区间上是增函数,故 ;
(2)当时,函数在区间上是减函数,故
例2、求函数的最小值。
解:对称轴
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,
改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?
解:(1)当时,;
(2)当时,。
2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?
解:(1)当时,,;
(2)当时, ,;
(3)当时,,;
(4)当时, ,。
例3、求函数在区间上的最小值。
解:对称轴
(1)当即时,;
(2)当即时,;
(3)当即时,
例4、讨论函数的最小值。
解:,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为直线,,当,,时原函数的图象分别如下(1),(2),(3)
因此,(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,
以上内容是自己研究整理,有什么错误的地方,欢迎各位指正,不胜感激!
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