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* * 24.1.3 弧 弦 圆心角 循化县民族中学 阎长利 学习目标 1、了解圆的旋转不变性。 2、理解圆心角、弦心距的概念。 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 回顾旧知 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦． O A B C D E F 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 圆弧（弧） O A B 半圆 圆是 图形 轴对称 ___________ O 将⊙O沿任何一条直径所在的直线对折，两部分图形________． 重合 将⊙O 绕圆心 O 顺时针旋转180°，这两个图形________． 圆是 图形 轴对称 中心对称 ___________ O 重合 复习回忆 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴. 利用这个性质我们得出了垂径定理， 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法可以得到: 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合. 这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 利用旋转不变性来研究另一个重要定理 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 · 1.圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A 一、概念 O A B , 如 圆心角 所对 的弧为 AB， 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图2 中，OM为AB弦的弦心距。 图1 图2 M 1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。 ① ② ③ ④ 任意给圆心角，对应出现 四个量： 圆心角 弧 弦 弦心距 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重合，B与B′重合． · O A B 探究 · O A B A′ B′ A′ B′ 二、 ，AB与A′B′重合． 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 你能发现 哪些等量关系? 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________． 弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 相等 相等 相等 相等 三、定理 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________，_________________． （2）如果 ，那么____________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O AB=CD AB=CD 四、练习 证明： ∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. · A B C O 五、例题