第三章(二) 埃尔米特-样条插值法课件.ppt

3.4.1 埃尔米特(Hermite) 插值 ★ Hermite插值描述： 设 f (x)具有一阶连续导数，已知节点上的函数值和导数值，即 (xi, f (xi)), (xi, f ‘(xi)), i = 0, 1, 2, …, n, 若存在至多 2n+1次多项式 H2n+1(x) 满足 则称 H2n+1(x) 为 f (x) 关于节点{xi} (i = 0,1,2,…,n)的Hermite插值多项式。 记 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0,1,2,…,n . ★ 三次Hermite插值的构造 存在性 给定 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0, 1. 设 代入插值条件: H3(xi) = f(xi), H3(xi) = f (xi), i =0,1,得 基函数法 类似于拉格朗日插值多项式的构造手法，我们可以通过插值基函数作出 。 设 根据要求的条件 有 有 有 有 每个节点上对应两套基函数：x0: h0(x), g0(x); x1: h1(x), g1(x),满足 或简记为 先构造 h0(x), 设 由h0(x0) = 1, 同理 设 由 g0(x0) =1, 得 a =1。所以 注：我们知道，过 x0, x1 两点的Lagrange插值基函数为 显然， 于是，三次Hermite插值的基函数可表为 例1 给定 f (? 1)=0, f (1)=4, f (? 1)=2, f (1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5). 解 x0 = ? 1, x1 = 1, 例2 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f (0) = 2, 构造二次插值函数。 解 公式法 设 f (1) = m1，有三次Hermite插值公式得， 3.4.2 分段线性插值 Runge现象 插值多项式在插值区间上发生剧烈的震荡。它揭示了高次插值多项式存在的缺陷。 产生的原因 误差有截断误差和舍入误差两部分组成，而在插值的计算过程中，舍入误差可能会扩散或放大。 分段线性插值 给定 n +1个插值点：(xi , f (xi)), i = 0,1,2,…,n, 在每个小区间[xi, xi+1]上作线性插值，节点 xi, xi+1上的基函数分别为： 显然满足 分段线性插值为： [xi, xi+1]上 区间[a, b]上的线性插值 p(x) 就是将每个小区间[xi , xi+1]上的线性插值 pi (x) 连接起来, p(x) 为[xi , xi+1]上不高于一次的多项式。即 p(x)的图形是一条以 (xi, f(xi))为折点的折线。 用分段线性插值逼近上述例子的效果，取 n =10。 例1 已知 计算 f(1.2), f(3.3). 解 在[xi, xi+1]上构造一个三次多项式 共有 4n 个未知量，因此需要 4n 个条件。 由定义中的 (3)知，有n+1个条件； 由定义中的 (2)知，有3(n ?1)个条件，即 上面共有4n-2 个条件，因此还需要2个两个条件才能 确定4n个系数，这就要用到边界条件。 设对区间[a,b]的分划 在左端点xj-1上有 （3.5－8） 将式（3.5－8）中