第三章_动力学方程的三种基本形式课件.ppt

第三章 动力学方程的三种基本形式 应用力学研究所 李永强 东北大学理学院应用力学研究所 李永强 第三章 动力学方程的三种基本形式 §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 §3.2 虚功率形式的动力学方程 §3.3 高斯形式的动力学方程 §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 本方程为虚功原理与达朗伯原理的结合 质点系由n个质点组成，各质点的质量用mi (i=1,2,…,n)表示， 作用于第i个质点上的主动力、约束力用 、 表示，在任意瞬时，第i个质点的加速度为 。 在此质点上虚加一惯性力 对质点系 : 如果此质点系是理想约束 应用虚位移原理，则有 或 虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程） 在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。 由达朗伯原理可得： §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 动力学普通方程的投影形式： 如果统一编号 注意: 1. 对于非理想约束力可作为主动力处置 2. 方程中不出现约束反力 §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 例3-1 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘，质量均为m1，半径为r，曲柄为均质杆，质量为m2，长为4r； 各轮在接触点只滚不滑。在轮心轴承O1、O2、O3处摩擦力矩均为M1。在曲柄上作用一常力偶矩M2。求：曲柄的角加速度 Ⅰ Ⅲ Ⅱ 解： Ⅰ Ⅲ Ⅱ （1）运动分析 取?为广义坐标， ， 左正右负， Ⅱ轮： 得： Ⅲ轮： 所以 §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 Ⅲ （2）受力分析 M2为主动力矩 M1各摩擦力矩，均按主动力矩处理 轴承O1：M1 右转 轴承O2： 为左转，O1O3也为左转， M2 右转 轴承O3： 左转，故M13右转 左转 （3）加惯性力 左转， 左转， 曲柄O1O3：简化中心为O1 （作用在O1） （作用在O1） 右转 由于 §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 Ⅱ轮：简化中心O2 平面运动 Ⅲ轮：简化中心O3 （4）虚位移，虚功，虚功方程 给定虚位移??，其方向与 即 方向相同 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上。 §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为M1、M2、M3 轮Ⅱ： 所以 杆O1O3： 轮Ⅲ： §3.2 虚功率形式的动力学方程 虚功率形式的动力学方程 用动量和冲量表示的动力学方程 §3.2 虚功率形式的动力学方程 虚功率形式的动力学方程 条件：除3.1条件外，还增加条件：内有d个完整约束，g个非完整约束 对于第i个质点 在此瞬时，相应的位形上给第i个质点虚速度 ，第i个质点的虚功率 对于系统可得： 如果此质点系是理想约束，则 §3.2 虚功率形式的动力学方程 虚功率形式的动力学方程 理想约束下质点系的虚功率方程为： 具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。 虚功率形式的动力学方程(若丹原理) 上式中： 其在直角坐标中的投影形式为： §3.2 虚功率形式的动力学方程 虚功率形式的动力学方程 例3-2已知：常力矩M，均质圆轮C做纯滚动，质量为m，半径为R。绞车半径为r，质量为mO，回转半径ρ。斜面倾角θ，绳质量、轴承摩擦不计 求： aC 解：单自由度系统，取绞车转角?为广义坐标 1）运动分析、虚速度分析 绞车 虚速度： §3.2 虚功率形式的动力学方程 虚功率形式的动力学方程 2）受力分析 常力矩M，轮的重力mg，绞车重力mOg 3）惯性力分析 圆轮： 绞车： 4）建立虚功率方程 圆轮： 绞车： 虚功率方程： §3.2 虚功率形式的动力学方程 用动量和冲量表示的动力学方程 一般情形 定点转动 平面运动的情形 §3.2 虚功率形式的动力学方程 用动量和冲量表示的动力学方程__ 一般情形 对功率形式的动力学方程进行变化，由 将其括号部分提取出来，进行变换 其中 作用在第i个质点上的主动碰撞力的冲量 将 用 表示，则功率形式的动力学方程可变为 动