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HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 质点动力学 第九章 静力学:研究物体在力系作用下的平衡问题 运动学:从几何角度研究物体的运动 但如果力系不平衡呢?物体将怎样运动?为什么会这样运动? 动力学:研究作用在物体上的力与物体运动之间的关系,从而建立物体机械运动的普遍规律 本章研究在牛顿运动定律的基础上建立质点在惯性坐标系下的运动微分方程,并应用此方程求解两类问题,1、已知质点的运动求质点所受的力,2、已知作用于质点的力求质点的运动 §9-1 动力学基本定律 ? 单位制 一、动力学基本定律(牛顿运动定律) 第一定律: 任何物体如不受外力作用,将保持静止或匀速直线运动状态。 惯性定律 质点受到外力作用时,所产生的加速度大小与力的大小成正比,而与质量成反比,加速度的方向与力的方向相同。 第二定律: 力与加速度的关系定律 第三定律: 力的作用与反作用定律 两物体间相互作用的力同时存在,等量、反向、共线,分别作用在两个物体上。 物体:质点、质点系、刚体 第二定律(只适用于单个质点): 质点受到外力作用时,所产生的加速度大小与力的大小成正比,而与质量成反比,加速度的方向与力的方向相同。 第二定律(只适用于单个质点): 是力与加速度的关系定律 质量是物体惯性的度量 F是所有力的合力 质量与重量不同,质量不变,重量可变 第三定律: 力的作用与反作用定律 两物体间相互作用的力同时存在,等量、反向、共线,分别作用在两个物体上。 牛顿定律适用范围: 速度、尺度要求 惯性参考系 物体相对惯性参考系的运动称为绝对运动 第三定律给出了质点系中各质点间相互作用的关系,使质点动力学的理论得以推广 适用于牛顿定律的参考系称为惯性参考系。绝大多数工程问题取地球的坐标系为惯性参考系 凡是相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系也是惯性参考系 基本量:长度(m) 时间(s) 质量(kg) 量 纲:长度 [L] 时间 [T] 质量 [M] 二、单位制和量纲 §9-1 动力学基本定律 ? 单位制 单位制: 国际单位制(SI) 第一次世界大战 英德马岛战争(南半球大西洋马尔维纳斯群岛) 6公里 矢量表示法: 直角坐标表示法: §9-2 质点运动微分方程 自然表示法: §9-2 质点运动微分方程 极坐标表示法: §9-2 质点运动微分方程 r q O M x ar a? a 质点动力学的两类问题: 1. 已知质点的运动,求作用于质点的力 2. 已知作用于质点的力,求质点的运动 已知质点的r(t)或v(t),通过如下微分方程求解: 这类问题归结为求解运动微分方程。对于这类问题,除了作用于质点的力外,还必须知道质点运动的初始条件,才能确定质点的运动。 二、质点动力学的两大类问题 1.第一类问题:已知质点的运动规律,求质点所受的力 求导数问题 已知 2.第二类问题:已知作用于质点的力,求质点的运动规律 根据运动微分方程(二阶常微分方程) 积分求解、变量分离 1)力是常量或是时间的函数 +初始条件 2)力是位移x的函数(如弹簧力) +初始条件 3)力是速度v的函数(如跳伞) 2.第二类问题:已知作用于质点的力,求质点的运动规律 +初始条件 ? 例1 质量m的小球系于长为l的绳上,绳与铅直成θ角,小球在水平面上作匀速圆周运动。求小球的速度和绳中的张力。 解: 1. 以小球为研究对象 2. 受力分析 3. 运动分析 4. 动力学方程 得: (采用自然法求解) 法向 切向 ? 例2 质量m的小球从半径为r的固定光滑球面顶部无初速地落下,试计算图示时刻球面对小球的法向力。 解: 1. 以小球为研究对象 2. 受力分析 3. 运动分析 4. 动力学方程 M M0 θ r FN为约束力,即法向力 法向 切向 ? 例2 解: 质量m的小球从半径为r的固定光滑球面顶部无初速地落下,试计算图示时刻球面对小球的法向力。 M M0 θ r (1) (2) 为了求法向力FN必须求出 由(2)式可得 M M0 θ r ? 例3 一边长为a的正方体重W,放置于比重为? 的水中,设该物体从其平衡位置下沉一微小距离x0,此时v0= 0,求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。 W h x 平衡位置 W F h+x 任意位置 设正方体在平衡位置时吃水深度为h,则离开平衡位置x时吃水深度为(h+x).在平衡位置,水的浮力为γAh=W。在水深为x处受重力(W)浮力(F=γa(h+x)),因此正方体运动微分方程为 解: 一边长为a的正方体重W,放置于比重为? 的水中,设该物体从其平衡位置下沉一微小距离x0,此时v0= 0,求此后该
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