第16章 虚位移原理课件.ppt

16.1 约束和约束方程 自由度和广义坐标 16.2 虚位移 16.3 理想约束 16.4 虚位移原理 16.5 广义力表示的质点系平衡条件 保守系统平衡的稳定性 在第一篇静力学中，从力的平行四边形法则，二力平衡公理及力系平衡的原理出发，通过力系简化，得到了刚体的平衡方程。在这一章里，将讨论虚位移，虚功，广义坐标，广义力等重要概念，并从力系做功的观点出发，导出求解任意质点系平衡问题的普遍方法。对于只有理想约束的物体系统，因未知约束力不做功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程求解更方便。 虚位移原理在理论上和工程实践中都具有重要意义。它不仅是研究平衡问题的最一般原理，而且与达朗贝尔原理相结合，将导出解决非自由质点系动力学问题的动力学普遍方程，从而为分析力学奠定了基础。 为便于分析，通常将约束对质点或质点系的限制条件用数学方程表示，这些方程称为约束方程。 根据约束方程的形式及约束对质点系运动限制的不同，可将约束作如下分类： (1) 完整和非完整约束 只限制质点或质点系几何位置的约束称为几何约束。如图16.2所示，半径为R的球摆，由于摆杆的限制，质点M始终在以O为中心，R为半径的球面上运动。若以O为原点建立直角坐标系数Oxyz，则摆的约束方程为 又如图16.3所示的平面曲柄连杆机构可简化为曲柄销 A 和滑块B两质点系统。曲柄销A限制在以O为中心，r为半径的圆周上运动，滑块B限制在水平 象这样只限制质点系中各质点的几何位置，或虽能限制质点系中各质点的速度，但能积分成坐标的有限形式的约束称为完整约束。 完整约束方程的一般形式为： 如果约束能限制各质点的速度，且不能积分成坐标的有限形式。这种约束称为非完整约束。非完整约束方程的一般形式为： 在约束方程中用等号表示的约束称为双面约束。它能同时在两个相反方向对质点的运动起限制作用。如图16.2中的约束形式。若此例中的刚性杆换为柔性绳索，则质点M不仅能在球面上运动，而且可在球面内空间运动，即绳索只限制了质点M朝外方向的运动。所以，其约束方程只能用不等式表示为： 2．自由度和广义坐标 确定一个自由质点在空间的位置需三个独立参数，即三个独立坐标，称空间自由质点有三个自由度。同样可知，平面自由质点有两个自由度。一般地说，由n个质点组成的质点系在空间的位置，可用3n个坐标来描述。如果系统受有s个完整约束，其约束方程为： 则系统的3n个坐标中只有k=3n-s个是独立的。即确定系统的位置只需要k个独立坐标就够了，称系统具有k个自由度。 也就是说，确定受到完整约束的质点系的位置所需的独立参数的数目称为该质点系的自由度数。显然，图16.2和图16.3中所示之摆球和曲柄连杆机构的自由度分别为2和1。又如图16.5所示的平面双锤摆。 通常情况下，对于一个具有n个质点、k个自由度的非自由质点系，用k个独立变量来确定其空间位置，往往要比用3n个直角坐标和s个约束方程来确定方便得多。例如图16.3中的平面曲柄连杆机构，如选OA对x轴的转角φ为独立变量，则可很方便且唯一地确定系统的位置，各质点的直角坐标可表示为 由以上分析可见，如果用独立变量来描述质点系的位置，有时问题就要简便得多。凡可借以确定质点系位置的任何独立参数，称为该质点系的广义坐标。广义坐标的选取并不是唯一的，可根据具体情况，选取直角坐标，或转角或弧坐标等独立参数作为广义坐标。对于完整约束条件下的质点系，其广义坐标数目等于自由度数。 一般地，设有由n个质点组成的非自由质点系，受到s个完整、双面和定常约束，有k=3n-s个自由度。可用k个广义坐标q1, q2, …，qk确定质点系的位置。对任一质点Mi，在选定的直角坐标系中的矢径ri可表示为广义坐标的函数： 人们在研究简单机械的平衡问题(如图16.6所示杠杆平衡)时发现：由于杠杆工作时其运动缓慢，故在运动过程中的任何位置上，质点系的动能均可视为零，从而由动能定理得知，主动力所作的功之和为零，即 对于非自由质点，由于约束的作用，质点的位移必须满足约束的限制条件。在给定瞬时(位置)，质点所可能发生的为约束所容许的任何微小的位移称为质点在该瞬时(该位