第三章李雅普诺夫稳定性理论课件.ppt

第三章 李雅普诺夫稳定性理论 研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统) 1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。 主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。 当 与 无关 大范围一致渐进稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态 不稳定性：不管 ， 有多小，只要 内由 出发的轨迹超出 以外，则称此平衡状态是不稳定的。 线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 发散的轨迹。至于是否趋于无穷远 域外是否存在其它平衡状态。若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。 非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。 设非线性系统状态方程： 在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是： 上式为向量函数的雅可比矩阵。 令 则线性化系统方程为： 结论： 若 ，则非线性系统在 处是渐进稳定的，与 无关。 若 则不稳定。 若 ，稳定性与 有关， 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。 3.4 李雅普诺夫第二法(直接法) 稳定性定理： 设系统状态方程： 其平衡状态满足 ，假定状态空间原点作为平衡状态( )，并设在原点领域存在 对 x 的连续的一阶偏导数。 定理1：若(1) 正定； (2) 负定； 则原点是渐进稳定的。 说明： 负定 能量随时间连续单调衰减。 定理2：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态不恒为零，则原点是渐进稳定的。 说明：不存在 ， 经历能量等于恒定，但不维持在该状态。 定理3：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。 说明： 系统维持等能量水平运动，使 维持在非零状态而不运行至原点。 定理4：若(1) 正定； (2) 正定 则原点是不稳定的。 说明： 正定 能量函数随时间