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第十二章 动能定理 §1 力的功 度量力在一段路程上对物体作用的积累效应。 结果：物体的机械能发生变化。 二、变力的功 质点M在力F的作用下作曲线运动， 三、几种常见力的功 ⒈重力的功 ⒉ 弹性力的功 设弹簧原长为l，刚度系数为k，则弹性力为 结 论 弹性力的功为 ⒊定轴转动刚体上作用力的功 力 F = Fτ+Fr+Fz ⒋力偶的功 当刚体转过角?时, 力偶M的功为 ⒌平面运动刚体上力系的功 设刚体在力系F1、F2、…Fn作用下作平面运动， 结 论 δW = FR·drc +MC d? ⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 drD----接触点的位移； D为速度瞬心， vD=0 静滑动摩擦力F----阻碍滑动；帮助滚动。 ⒎质点系内力的功 内力的功不为零的实例 摩擦力作负功。 ⒏约束力的功 光滑支撑面 光滑铰链联接 **常见力的功-----小结 §2 动能 一、质点的动能 二、质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和即质点系的动能 。 圆锥摆杆的动能 例12-1 已知均质杆质量为m，长为l，绕z轴以匀角速度ω作圆锥摆动，圆锥顶角为2?。求该杆的动能。 ⑴平动刚体的动能 ⑵定轴转动刚体的动能 ⑶平面运动刚体的动能 根据计算转动惯量的平行轴定理，有 ∴ 结论： 作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。 例12-2 计算下列各物体的动能。 均质圆轮质量为m，半径为r ；绕O轴转动，角速度为ω，求其动能。 均质圆轮质量为m，半径为r；在水平面上纯滚动，轮心速度为v，求其动能。 行星轮机构中，行星轮Ⅰ在系杆OA的带动下绕定齿轮Ⅱ转动。已知系杆的质量为m，角速度为ω，行星轮质量为m1，半径为r1，求系统的动能。 解：T = TOA + T轮Ⅰ §3 动能定理 一、质点的动能定理 将式 二、质点系的动能定理 质点系中任一质点质量为mi，速度为vi， 或 对理想约束， 对式 问 题 在非理想约束条件下，如何应用动能定理？ 例12-3： 续例13-3： 已求得质点系动能的增量为 ∵质点系受理想约束， 例12-3：置于水平面内的行星轮机构中，行星轮Ⅰ在系杆OA的带动下绕定齿轮Ⅱ转动。已知系杆(视为均质细杆)的质量为m，受主动力矩M作用；行星轮(视为均质轮)质量为m1，半径为r1，求系杆由静止转过?角后的角速度、角加速度。 续例12-3 例12-4 位于水平面内的机构如图。已知曲柄OA=r，重P，受常力矩M作用；连杆AB=l，重Q；滑块B重G。当AO⊥OB时， A点的速度为u。求曲柄OA转至与连杆AB成一直线时，A点的速度。 续例12-4 续例12-4 例12-5 图示系统中，磙子C、滑轮O均质，重量、半径均为Q、r。磙子沿倾角为α的斜面纯滚动，借不可伸长的绳子提升重W的物体，同时带动滑轮O转动，求磙子质心C的加速度aC 。 续例12-5 解： 续例13-5 [法二]用动能定理的积分形式。 设系统初始动能为T0(定值)； 当轮心C经过距离s后，速度为vC，系统动能为 小结： 动能定理最适于求解动力学第二类基本问题：已知主动力求运动，即求速度、加速度或建立运动微分方程。 §4 功率·功率方程·机械效率 一、功率---单位时间力所作的功。 功率的量刚为： 功率的单位：瓦特W（焦耳/秒 J/s） 二、功率方程 对质点： 三、机器功率方程 机器的功率分为P输入，P有用，P无用， 四、机械效率 有效功率输入功率 §5 势力场·势能·机械能守恒定律 一、势力场 二、势能 在势力场中，质点从点M运动到任选的参考点M0，有势力所作的功称为质点在M位置的势能。 *弹性力势能 ?0-----势能零点时弹簧的变形量。 三、机械能守恒定律 质点或质点系在某一位置的动能与势能之代数和称为机械能。 如质点M在势力场中运动： §6 普遍定理的综合应用 二、动力学普遍定理的共同特点 揭示机械运动的度量与力的作用的度量两者之间的联系。 如微分形式的普遍定理中 动量定理表达动量的变化率与力之间的关系； 动量矩定理表达动量矩的变化率与力矩之间的关系； 功率方程表达动能的变化率与功率之间的关系（微分形式的动能定理表达动能的微小增量与元功之间的关系）。 如积分形式的普遍定理中 冲量定理表达动量的增量与冲量之间的关系。 三、动力学普遍定理的综合应用 一题多解类 同一问题用不同的定理方法求解。 例12-6 已知磙子C、滑轮O均质，重量、半径均为Q、r。磙子向下作纯滚动，借不可伸长的绳子提升重W的物体，同时带动滑轮O绕轴转动，求  (1)磙子质心C的加速度aC；  (2)系在磙子上的绳子的张力； (3) 轴 承 O 处