1.2.1任意角的三角函数（一）xg.pptVIP

当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢? 我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？ x y o P(a，b) α r A B 思考: 对于确定的角α，上述三个比值是否随 点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？ 为什么？ 由相似三角形的知识可知,这三个比值不会随着点P在角α的终边上的位置的改变而改变. P(a，b) x y o α r A B 为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？ x y o P(a，b) α 1 在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角α的终边上一点P，要使|OP|=1，只需点P为终边与单位圆的交点. 单位圆 α的终边 P(x，y) y O x 1 在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角α的终边上一点P，要使|OP|=1，只需点P为终边与单位圆的交点. α的终边 O x y P 单位圆 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为sinα，cosα，tanα对应的值应分别如何定义？ α的终边 P(x，y) O x y 对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否唯一？ 角α的终边在y轴上时, tanα的值无意义,除此之外,其它的角的三角函数值都是唯一确定的. α的终边 P(x，y) O x y 　　正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 一、三角函数的定义 正、余弦函数的定义域为R， 正切函数的定义域是 思考：正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？ α的终边 P(x，y) O x y 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 解： O x y P0（－3，－4） P（x，y） 例2 已知角的终边过点P0（－3，－4），求角的正弦、余弦和正切值. O x y M0 M P0（－3，－4） P（x，y） O x y M0 M 　　若点P（x，y）为角α终边上任意一点，则 P(x，y) O x y 提升总结 解析: 1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值. 2.三角函数的定义是三角函数的理论基础. 重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西. ——列夫?托尔斯泰 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（一） 1.掌握任意角的三角函数的定义，树立映射观点； 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.掌握三角函数的定义域、值域. 任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一.三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；14～16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等.1631年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”.“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线.随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用. 在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ A B C α