2010-2014五年高考理数真题立体几何习题集.docxVIP

1.(2010新课标)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．2.(2011新课标)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。3.（2012新课标）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。证明：DC1⊥BC；求二面角A1-BD-C1的大小。4.（2013新课标1卷）如图，三棱柱中，，，=60°.（Ⅰ）证明⊥;（Ⅱ）若平面⊥平面，，求直线 与平面所成角的正弦值。 5.（2013新课标2卷）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB。（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD1（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值6.(2014新课标1卷)如图三棱锥中，侧面为菱形，. (Ⅰ) 证明：；（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.7.（2014新课标2卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积. 8.（2010全国卷2）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．9.（2010湖南）如图5所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点. （I）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值； （II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论. 10.（2010山东）如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．11.（2010江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。求证：PC⊥BC；求点A到平面PBC的距离。12.（2011陕西）如图，在中，是上的高，沿把折起，使 。（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求与夹角的余弦值。 13.（2011广东）如图5，在椎体中，是边长为1的棱形，且,,分别是的中点，（1）证明：;（2）求二面角的余弦值. 14.（2011浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。15.（2012天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. 16.（2012北京） 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由17.(2012辽宁)如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点。 (Ⅰ)证明：∥平面; (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。18.（2012湖南）如图5，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积．19.（2012湖北）如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）． （Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小． 20.（2012福建）如图，在长方体中，，为中点。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。