第八章 弯曲应力课件.ppt

* 为了便于后面的分析，还要介绍两个重要的概念： 由平面假设可知，在梁的弯曲时，两横截面将相对转过一个角度。横截面的转动将使得梁的凸边纵向线伸长，凹边纵向线缩短。由于变形的连续性，由底边纤维的伸长到顶层纤维的缩短，中间必然有一层纵向线无长度变化。我们把这层既不伸长也不缩短的纤维层叫做中性层。也就是图中绿颜色所表示的那层纤维。 在中性层这个概念的基础上来定义中性轴：中性层和横截面的交线就是中性轴。实际上，梁在弯曲时，横截面就是绕中性轴转动的。（由于外力均作用在梁的纵向对称面内，梁的轴线弯曲成纵向对称面内的一条平面曲线，梁的变形对称于纵向对称面，因此）中性轴垂直于梁的纵向对称面，与横截面的对称轴成正交关系。 以上通过试验观测所得到的现象和结论，主要是两个假设和两个概念。下面就可以着手考虑梁的变形几何关系： * 首先要在横截面上建立参考坐标系：把横截面的对称轴取为y轴，并且向下为正。中性轴取为z轴，它是中性层与横截面的交线，并垂直于y这个对称轴，至于中性轴在横截面上的具体位置，现在还未确定，也是期望在后面的推导过程中确定下来。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法线。 以纵向对称面表示一段梁，虚线代表中性层，两相邻横截面之间的微段距离为dx。要分析横截面上的正应力的变化规律，先来研究沿横截面法线方向的线应变的分布规律，那么我们来考虑距中性层为y的某一纵向纤维bb的线应变。 变形后横截面仍为平面，只是相对转动了一定的角度dtheta，他们的延长线相交于一点O叫做曲率中心，虚线表示的中性层弯成了弧线，假定它的曲率半径为Rou。纵向线bb弯成弧线线与中性层的距离保持不变为y。 考虑bb的纵向线应变，按照定义式线应变的值：【应变定义式】------变形前bb直线段的长度就应该是dx，变形后的bb弧线的长度可以通过弧长的计算式由对应的曲率半径*dtheta，曲率半径等于rou+y。由于dx和dtheta代入不能进一步简化，还需要建立dx和dtheta的关系。dx等于oo直线段的长度，由于oo处于中性层这个特殊位置，中性层上的纤维既既不伸长也不缩短，变形前后长度相等。变形后oo微弧的长度也就等于中性层的曲率半径Rou乘以dtheta。 代入经过整理得到线应变的表达式：虽然表达式中rou大小未知，但它已经可以表明了线应变的分布规律：正应变与它到中性层的距离成正比，换句话说，距离中性轴越远的高度上，纤维的线应变就越大。需要说明的是由于bb纤维的高度位置是任意选取的，得到应变的表达式应该说对整个横截面上任意高度都适用，具有普遍性。通过变形几何关系的分析，得到了弯曲正应变的分布规律。 * 物理关系： 再来考虑物理关系，由纤维之间互不挤压处于单向受力状态的假设，当应力不超过材料的比例极限时，应力应变关系服从胡克定律，有非常简洁的表达形式，---再把前面的由几何关系式得到的应变表达式代入，就得到弯曲正应力公式：-----我们可以用图形来表示横截面上正应力的分布。由于它也是关于y的一次函数，则与正应变的分布规律是一致的。其分布规律就是以中性轴为界，一侧受拉、另一侧受压，应力大小与到中性轴的距离成正比。距中性轴为y的同一等高线上各点处的正应力均相等。 中性轴上的正应力为零，由于上下边缘距离中性轴最远，有绝对值最大的正应力。 通过分析物理关系，我们找到了弯曲正应力的分布规律，但是现在还存在的问题是，中性轴的位置？中性层的曲率半径为多少？（如果不知道中性轴的位置，则y的大小也无从确定，这个应力表达式也就变得没有意义）。 * 静力学关系： 在横截面上取面积为dA的微元，微元上的法向微内力元素为sdA，那么整个横截面上的法向微内力元素构成了一个空间平行力系，平行于x轴方向，那么这样的空间平行力系只可能合成三种形式的内力：x方向的合力（平行于x轴，对x轴没有矩，只有x方向的合力），以及力系对y轴和z轴的合力矩。 由于梁的另一侧只受外力偶Me作用，根据静力学平衡关系可知，横截面上的内力只有弯矩M，前面三个内力的合成结果会有以下三个等式关系：Fx，My均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩M，其值等于外力偶矩Me。分别考虑这三个等式关系成立的条件。 我们先来看看2式，要满足横截面上空间平行力系对y轴的合力矩等于零，代入弯曲正应力s的表达式代入进行整理，对于给定的材料和横截面，弹性模量E和曲率半径rou均不为零为常量，可以提取到积分号外面，比值不可能为零，会得到后面的这个积分式表示Iyz=0，也就是要满足截面对yz轴的惯性积为零。前面介绍了截面的几何性