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第六章 狭义相对论 §1 相对论的实验基础 一、相对论产生的历史背景 §2 相对论基本原理 Lorentz变换 一、相对论基本原理 §3 相对论的时空理论 一、相对论时空结构 §4 相对论理论的四维形式 一、空间的正交变换 §5 电动力学的相对论不变性 一、四维电流密度矢量 §6 相对论力学 一、能量－动量四维矢量 若 v c 逆介质运动方向的传播速度 速度也不符合Galileo变换（其实v c 并不是非相对论极限的条件）。这两式的结论被Fizeau水流实验证实。 1. 空间转动是正交变换 二维空间转动：P点坐标满足 转动过程中 为不变量，二维空间转动是正交变换。 三维空间。线性变换一般可以表为 若变换满足 则是正交变换。三维空间的转动就是一种正交变换。 2. 正交变换的抽象形式 n维线性变换可表为 约定：下标重复时，除非特殊说明，都要对指标求和。 上式改写为 正交变换条件是 引入符号 正交变换条件还可以写为 反变换公式 3. 正交变换的矩阵形式（以三维为例） 定义线性变换矩阵 其转置矩阵 即 在S和S’中的坐标以列矩阵表示 线性变换表为 正交变换条件为 反变换为 二、物理量按空间变换性质分类 1．标量：标量没有方向，在空间变换下标量保持不变，即是不变量（如电量、质量、能量在三维空间转动下不变）。 2．矢量：具有方向属性，n维空间中的矢量有n个分量。 这些分量在空间变换时按同一方式变换 速度、力、电场强度、磁感应强度等是三维空间中的矢量 微商算子具有矢量性质 3．二阶张量 某些材料的极化率是各向异性的，即沿不同方向极化时极化强度不同 极化率的取值具有各向异性特征，用二维空间的二阶张量表示，有9个分量。 电四极矩也是一个二阶张量 两个矢量的并矢也构成一个二阶张量，它与另一矢量相乘为一矢量 一个n维空间的二阶张量具有n×n个分量，以Tij表示 张量与矢量相乘 二阶张量的变换 证明：设两矢量（p，q）满足 空间变换使（p，q， T ）变为（p’，q ’，T’） 对称和反对称张量，张量的迹 1）对称张量满足 2）反对称张量满足 3）张量的迹 空间变换不改变张量的对称性和张量的迹。 证明：对于对称张量 对于反对称张量 对于张量的迹 可见，张量的迹是一不变量。 张量分解 二阶张量可分解为：迹（一个独立分量）；无迹对称张量（五个独立分量）和反对称张量（三个独立分量）三部分。 以三维空间的对称张量为例 附：指标收缩 一个二阶张量Tij有两个自由指标，与一矢量相乘后只剩一个指标 这称为指标收缩。 两个矢量的标积 viwi 没有指标，是一标量（不变量）。 证明： 三、Lorentz变换的四维形式 若引入第四维（虚数）坐标 x4 = ict，由Lorentz变换保持间隔不变， 即存在不变量 Lorentz变换是线性变换，可表为 注：这里是复四维空间，称为Minkowski空间，它不同于实四维Euclid空间。Minkowski空间中的点称为“世界点”，曲线称为“世界线”。 沿x方向的Lorentz变换的变换矩阵 其中 逆变换矩阵 满足 四、四维协变量 Lorentz变换是四维空间变换,根据变换性质将物理量分为 标量：在Lorentz变换下保持不变，也称为Lorentz标量或不变量。间隔就是四维空间标量。 矢量：有四个分量，在Lorentz变换下满足 四维空时坐标 xm =（x，y，z，ict）是四维矢量。 四维微商算符也是四维矢量 D’Alembert算符是标量 二阶张量：在Lorentz变换下满足 它们都称为四维空间中（Lorentz）协变量。 1. 四维速度：定义 因为 四维速度是Lorentz协变量，但三维速度 ui=dxi/dt 由于dt在Lorentz变换下发生改变，使ui并不按四维矢量方式变换，所以 ui 不能成为四维矢量的分量。 2. 四维波矢量 在不同惯性系中波矢（与空间尺度有关）和频率（与时间尺度有关）具有不同值。 考虑平面电磁波 相位描述波形，波形是客观物理事实（比如在某时空点正好处于波峰），与参照系选取无关，相位是不变量。 定义四维波矢 有 四维波矢的变换关系 Doppler效应 观测遥远星系（远离地球）特征光谱线，与实验室中静止光源特征谱线相比，发现谱线明显移向波长较大的区域，这一现象称为谱线红移。产生谱线红移的原因有两种，Doppler红移和引力红移，通常引力红移非常小。 设在S中波矢与x轴夹角为q，在S’中波矢与x轴夹角为q ’， 由波矢变换关系 设光源相对于S’静止，记 w’ = w0 1）在垂