第十五章 达朗伯原理课件.ppt

1 1 静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。 二、静平衡与动平衡的概念 1 [例1] 质量不计的刚轴以角速度?匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？ 静平衡： (b)、 (d) 动平衡： ( a) 1 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。 [例2] 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？ (a) 绳子上加力G (b) 绳子上挂一重G的物体 O O 1 根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。 达朗伯原理的应用 1 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 ③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点： ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。 1 ⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 ⑦求解求知量。 [注] 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。 1 [例1] 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。 取系统为研究对象 解： 方法1 用达朗伯原理求解 1 虚加惯性力和惯性力偶： 由动静法： 列补充方程： 代入上式 得： 1 方法2 用动量矩定理求解 根据动量矩定理： 取系统为研究对象 1 取系统为研究对象，任一瞬时系统的 两边除以dt，并求导数，得 方法3 用动能定理求解 1 [例2] 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角?，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？ 1 解：方法1 用达朗伯原理求解 取轮O为研究对象，虚加惯性力偶 列出动静方程： 取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。 1 列出动静方程： 运动学关系： ， 将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得： 1 代入(2)、(3)、(5)式，得： 1 方法2 用动力学普遍定理求解 (1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 取系统为研究对象 两边对t求导数： 1 (2) 用动量矩定理求绳子拉力 （定轴转动微分方程） 取轮O为研究对象，由动量矩定理得 (3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理： 1 (4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象， 根据刚体平面运动微分方程 方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。 1 [例3] 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为? ，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。 解：(1) 用动能定理求速度，加速度 圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为?