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第八章 弹性力学问题一般解·空间轴对称问题 §8-2 任意等截面悬臂梁的弯曲 §8-3 空间轴对称问题的基本方程 §8-4 半空间体在边界上受法向集中力—Boussinesq问题 §8-7 力学分析方法概述 解式(f)与式(h)两式可得 又可设想过M点作一个与边界平行的截面，将弹性半空间体的上部分切下。根据被切下部分的z向平衡条件，可得 为求得任意常数A、B，先由边界上无剪应力的条件， 将式(e)中的以代人上式得 即当z=0，r≠0时， (如z=0，r=0时， ，自然满足)，可由式(e)最后一式得出 把所得到的A、B代回式（c），最后得位移的计算式为 再将A、B代回式(e)可得应力分量的计算式为 讨论：由以上得到的位移及应力计算公式(8-29)、式(8-30)可以看出： (1)随着R的增大，位移和应力分量迅速减小。当R→∞时，位移和应力分量皆趋于零。这说明此物体受力状态下的应力与位移均带有局部的性质。 (2)当r=0 ,R→0，各应力分量都趋于无限大。所以在集中力P作用点处材料早已进入塑性，由于实际载荷不可能加在一个几何点上，而实际上是分布在一个小面积上，由圣维南原理说明，只在要稍偏离接触区的地方，其计算公式仍是正确的。 (4)由位移计算公式(8-29)第二式，当z=0半无限体边界处任一点的法向位移沉陷量为 (5)当r=0，R=z时，亦即在外力作用线z线上的各点，由式(8-30)其应力为 这说明，在z轴上各点受到两向拉伸，一向压缩，它的主应力分别为 以绝对值比较， 比径向及周向应力 、 大得多。 (3)由应力计算公式(8-30)，z=0时半无限体边界上的各点应力为 这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。 弹塑性力学与所有力学的分析方法一样，用数学公式来表达弹塑性体受力的变形问题有两条不同的途径： 其中一条途径是以牛顿定律作为依据，通过微分体各力学参量之间的关系建立微分方程及其边界条件，这属于“矢量力学”范畴，我们要求的解就是应当既满足泛定方程，又满足边界条件，如果是精确满足就是精确解，如果是近似满足就是近似解(我们在以前所讨论的都是这部分内容)； 另一途径是以功能原理作为依据在上述微分关系上，最后通过积分建立整个物体的能量表达式(泛函)求其驻值或极值问题，这属于“分析力学”的范畴。 我们要求的解就是精确或近似满足边界条件，同时使能量具有极值(一般为最小值)。上述两种途径：前者称为几何法(矢量法)，后者称为变分法(能量法)。在一定条件下它们所讨论的内容可以互相转化，它们所得到的结果可以为函数解，是等价的，统称为力学分析的解析法。 * 前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在平面问题中进行了检验。 §8-1 弹性力学问题的一般解 一、位移法 现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析，并举出解法实例。在一般求解边值问题时，按照未知量的不同有位移法与应力法，下面分别来进行讨论。 若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 来表示。现在来进行推导：将式(4-2)代人式(4-6)得 再将式(a)对j取导后再代人式(4-1)得 （4-1） 同理，并采用Laplac算符 如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为 当体力不计时，有 式(8-2) (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为 上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（纳维叶）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式 (8-3)的推导过程是平衡方程、几何方程及本构方程的综合，因此以位移形式表示的平衡(运动)微分方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动力学问题中是极为重要的理论基础。 由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程。 (式中 为函数 沿物体表面法线n的方向导数)，其展开式为 其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得 所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ，则可直接进行计算。 如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件， 就要将应力形式的边界条件转换成为位移形式。 解 :以xy为边界面，取z轴垂直向下。 采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z轴，则各点位移只在z向有变化。试假设 因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出 而 例