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第六章 ??曲线拟合的最小二乘法 §6.1 引言 §6.2 线性代数方程组的最小二乘解 §6.3 曲线最小二乘拟合 如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很好地” 逼近f(x)的话,运用插值函数有时就要失败。另外,插值所需的数据往往来源于观察测量,本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点,势必使插值结果更加不准确。 如果由试验提供的数据量比较大,又必然使得插值多项式的次数过高而效果不理想。 §1 引言 从给定的一组试验数据出发,寻求函数的一个近似表达式y=?(x),要求近似表达式能够反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi),这就是曲线拟合问题,函数的近似表达式y=?(x)称为拟合曲线。本章介绍用最小二乘法求拟合曲线。 曲线拟合问题的关键: 选择合适的曲线类型:根据问题的物理规律或数据特点,选择合适函数空间 ,则拟合曲线可以表示为 在曲线类型中选择“最好”曲线:即确定拟合曲线的系数。其误差的度量形式很多,选用使 最小做为确定参数的方法称为最小二乘法。 §2 线性代数方程组的最小二乘解 设线性方程组 或写为 其矩阵形式为 当方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时,方程组无解,此时方程组称为矛盾方程组。对于rankA=n(A的秩为n)的矛盾方程组(Nn),我们寻求其最小二乘意义下的解。 1.最小二乘原则 由于矛盾方程组的精确解不存在,我们转而寻求其某种意义下,即最小二乘意义下的解。 令 称 为偏差。 达到最小值,这一条件称为最小二乘原则。 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组,实际中需要寻求矛盾方程组的一组解,以使得偏差的绝对值之和 尽可能地小。为了便于分析 计算和应用,常采用使偏差的平方和 按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn的一组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。 把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn的二次函数,记为Q=f(x1,x2,…,xn),因此,求矛盾方程组的最小二乘解就是求二次函数Q=f(x1,x2,…,xn)的最小值点。 问题:二次函数Q=f(x1,x2,…,xn)是否存在最小值?若最小值存在,如何求出该最小值点? 2.最小二乘解的存在唯一性 引理1:设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an)的某个邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,如果 (1) (2)矩阵 是正(负)定矩阵,则f(a1,a2,…,an)是n元实函数f(x1,x2,…,xn)的极小(大)值。 引理2:设非齐次线性方程组 的系数矩阵A=(aij)N×n,若rankA=n,则 (1)矩阵ATA是对称正定矩阵; (2)n阶线性方程组 有唯一的解。 证明:(1)矩阵ATA显然是对称矩阵。 设齐次线性方程组 因为rankA=n,故齐次方程组有唯一零解。因此,对于任意的 ,有 ,从而 故矩阵ATA是对称正定矩阵。 (2)因为矩阵ATA是正定矩阵,故rank(ATA)=n,从而线性方程组 有唯一的解。 证毕 定理:设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n,则二次函数 一定存在最小值,且最小值点为方程组 的解。 引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有唯一解。 Remark1:线性方程组 称为正则方程组。 3.最小二乘法解矛盾方程组 计算步骤: (1)判断方程组的秩是否满足rankA=n? (2)写出正则方程组; (3)求解正则方程组,其解就是矛盾方程组的最小二乘解。 设曲线拟合模型为 §3 曲线最小二乘拟合 如果试图插值,即 则得到关于未知数 的线性方程组 明显该方程组无解,是矛盾方程组,可以寻求其在最小二乘意义下的解。对应的正规方程组为 Remark 1.同一问题可以有不同的拟合曲线,通常根据均方误差 和最大偏差 的大小来衡量拟合曲线的优劣。均方误差和最大偏差较小的拟合曲线为较优的拟合曲线。 2.在解决实际问题时,有时通过观察选择多个函数类型进行计算、分析、比较,最终获得较好的数学模型;有时把经验公式作为数学模型,只是用最小二乘法来确定公式中的待定常数。 Remark 3.当拟合曲线?(x)中的待定常数是线性形式时,可直接根据矛盾方程组得到正则方程组而求解。当待定常数不是线性形式时,则应该先将待定常数线性化,再根据矛盾方程组写出正则方程组而求解
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