函数单调性第一课.pptVIP

* * 下图为云阳县磨盘寨某年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图： 问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？ 问题2 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？ t1 t2 f(t1) f(t2) 在某一区间内:当x的值增大时,函数值y也增 —图像在该区间内升； 当x的值增大时,函数值y反而减小 —图像在该区间内逐渐下降。 函数的这种性质称为： 函数的单调性 y 2 4 6 8 10 O -2 x 8 4 12 16 20 24 6 2 10 14 18 22 I 对区间I内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2) 图象在区间I逐渐上升 ？ O x I y 区间I内随着x的增大，y也增大 x1 x2 f(x1) f(x2) M N 对区间I内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2) x x1 x2 ？ I y f(x1) f(x2) O M N 任意 区间I内随着x的增大，y也增大 图象在区间I逐渐上升 对区间I内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2) x x1 x2 都 y f(x1) f(x2) O 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意 当x1x2时，都有f(x1 ) f(x2 )， 定义 M N 任意 两个自变量的值x1,x2， I 称为 f (x)的单调 增区间. 那么就说 f (x)在区间I上 是单调增函数， 区间I内随着x的增大，y也增大 图象在区间I逐渐上升 I 那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. O x y x1 x2 f(x1) f(x2) 类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. x O y x1 x2 f(x1) f(x2) 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间. 增 当x1x2时，都有f(x1 ) f(x2 )， 当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2 )， 单调区间 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 探索题 判断下列说法是否正确。 (1)定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数； (2)已知函数f(x)为R上的增函数,则有 f(2)f(1)； (3)定义在Ｒ上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数f(x)不R是上的单调减函数 (×) 你认为定义中的关键词语是什么？ 答：定义域，区间，任意，都有 例1、下图为函数 , 的图像，指出它的单调区间。 1 2 3 -2 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x o -4 -1 y -1.5 [-1.5，3]，[5，6] [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7] 解：单调增区间为 单调减区间为 例题分析： -1 1 2 3 4 5 6 7 x 2 1 2 3 4 5 6 7 x o -1 1 2 3 4 5 6 7 x 证明： 对于区间（-∞， 0 ）内任意 x1，x2且x1＜x2， 求证：函数f(x)= 在区间（-∞，0） 上是单调增函数. 所以函数f(x)= 在区间（-∞，0）上是单调增函数. f(x1)＜f(x2) f(x1)－f(x2)＜０ 区间取值 作差变形 判断符号 给出结论 例2、 用定义法证明函数单调性的步骤： ①区间取值； ②作差变形（通常是通分、因式分解和配方）； ③判断符号； ④得出结论． 证明：函数 　　　　 在区间 ［－1，＋∞）上是单调减函数． 证：在区间[－1，＋∞）上任意取两个值 ，且 ， ∴