《正交变换法和配方法化二次型标准形 2.doc

正交变换法和配方法化二次型标准形 的优劣研究 摘 要 二次型的研究起源于解析几何，在平面解析几何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程．从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程．这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用. 本文在基础上Abstract Quadratic study originated in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying linear variable, a quadratic multinomial only contains the square of variables. This kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications. Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summarize the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square. Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation 目 录 摘 要……………………………………………………………………………Ⅰ Abstract……………………………………………………………………………Ⅱ 目 录……………………………………………………………………………Ⅲ 1．引 言………………………………………………………………………… 1 2．定 义………………………………………………………………………… 1 3．定理及其证明………………………………………………………………… 2 4．方法步骤及例题……………………………………………………………… 5 4.1 配方法化二次型标准形…………………………………………………… 5 4.2 正交变换法化二次型标准形……………………………………………… 7 4.3 两种方法的比较研究……………………………………………………… 9 5．小 结…………………………………………………………………………10 致 谢……………………………………………………………………………12 参考文献……………………………………………………………………………13 1. 引 言 线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域二次型理论占有举足轻重的地位从对平方数的注意到对特殊二次型的研究再到对一般二次型的探索与发展中间经历了一个漫长曲折的历史过程而实二次型的标准形与代数数论、数的几何等都有密切的联系利用二次型可以把任何一个方阵标准化,对研究矩阵非常有用因此讨论二次型标准形问题就成为教学的一个很重要的内容的二次齐次多项式 =+2+…+2++…2+… 称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型. 定义 2：设； 是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 (1)称为由到的一个线性替换，简称线性替换.如果系数行列式 ，那么，线性替换(1)就称为非退化的. 定义 3：在n维欧式空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基. 3. 定理及其证明 定理 1：数域