1.1正弦定理的证明与简单应用.ppt

1.已知△ABC中，A:B:C=1:2:3,求a:b:c 练习 1： ：2 3．在△ABC中，若sin A＝2 sin BcosC且sin2 A ＝sin2 B＋sin2 C，判断△ABC的形状． 例4. 在△ABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证： 证明：在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得 两式相除得: 例6. 在△ABC中，c = , C=30°,求a+b的 最大值。 解：因为 所以 A + B = 180 ° －C = 150°， 从而 所以a+b的最大值是 1．在△ABC中，a=100，c=50 ，A=45°，则C= 。 30° 2．在△ABC中，已知a=5，B=120°，C=15°,则此三角形最大边的长为 。 练习： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即： (其中R是外接圆的半径) * * 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 * 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 近测高塔远看山，量天度海只等闲； 古有九章勾股法，今看三角正余弦。 A B C 如何测量A、B两点间的距离？（给定你米尺和量角器） 定义：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。 A B C a b c 解三角形就是：由已知的边和角，求未知的边和角。 1、边的关系： 2、角的关系： 1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边. 2）在直角三角形中：a2+b2=c2 1）A+B+C=1800 一、回顾三角形中的边角关系: A B C a b c 斜三角形中这一关系式是否仍成立呢? 2）在直角三角形ABC中,C=900,则 3、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角. 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= , 则 同理可得 从而 再看钝角三角形的情况: 如图，当△ABC是钝角三角形时，延长AB作AB的高CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=bsinA, 在△BCD中，CD=asin(180－B)=asinB. 因此 所以 同理可得 从而 过A作单位向量 垂直, A C B a b c 所以 所以 同样可证得： 则 证法二：(向量法) 证法三：(外接圆法) 如图所示,作?ABC外接圆则 ∴ 同理 ∴ （R为?ABC外接圆半径） A B C a b c O D ∠A=∠D 证明： ∵ B A C D a b c 而 ∴ 同理 ∴ ha 证法四：(面积法) 正弦定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即： (其中R是外接圆的半径) (1) a =2RsinA, b =2RsinB, c =2RsinC； (3) sinA : sinB : sinC = a : b : c； 注 意: 正弦定理在解斜三角形中的两类应用: (1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边. (2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边) A B a C A a a b B 例1.在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，则b＝________. 练习：1.在△ABC中,已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求C，a，b. 2．已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c. 3：在△ABC中，已知A=450，B=750，a=30cm，解三角形. 解： 例2.在 中，已知 ， 求 . 解：由 得 ∵ 在 中, ∴ A 为锐角 例3、ΔABC中,c= ,A=450 a=2,求b和B、 C. 解：∵ = ∴ sinC= =sinC= = ∴C=600 ∴当C=600时，B=750 或C=1200 b= = = +1 ∴当C=1200 时，B=150 ， b= = = -1 ∴b= +1, B=750 ，C=600 或b= -1， B=150 ，C=1200 已知两边和