第十章 弯曲应力课件.ppt

第十章 弯曲应力 §10-1梁弯曲时的正应力 设一简支梁如图10-1(a)所示，其上作用两个对称的集中力P。此时在靠近支座的AC，DB两段内，各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，这种情况的弯曲，称为剪切变曲；在中段CD内的各横截面上，则只有弯矩M，而无剪力Q，这种情况的弯曲，称为纯弯曲。为了更集中地分析正应力σ与弯矩M的关系，可以取纯弯曲的一段梁来研究。 一、变形几何关系 为了寻求梁弯曲时的变形规律，可自图10-1(a)所示的梁中截取一段纯弯曲梁来分析，该段梁两端截面上有相等的弯矩M，使其产生弯曲变形，如图10-2(a)所示。如通过该段梁的中点作一中线1—1，可以看出，由于梁的形状和受力情况对称于中线，则通过中线的横截面在变形后的形状也必对称，因此该横截面唯一可能的形状是仍保持为一平面。同样，再将该段梁自中线处截为两段，由于纯弯曲梁各横截面上的弯矩相同，则此两段 梁的受力情况又对称于它自身的中线2—2。因此，通过其中线2—2的横截面也必为一平面。依此类推，继续分割下去，可以证明：纯弯曲梁变形后名横截面仍保持为一平面。这个变形规律称为平截面规律。 根据平截面规律，梁弯曲时两相近的横截面将作相对的转动。可以设想，梁由一束纵向纤维所组成，这时在两横截面间的纵向纤维将产生伸长或缩短。由于变形的连续性，在伸长纤维与缩短纤维之间，必然存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，如 图10-3所示。 自梁中截取长为dx的一微段梁，令y轴的横截面的对称轴，z轴与截面的中性轴重合，如图10-4所示，至于中性轴的确切位置，暂未确定。现研究距中性层y处纵向纤维ab的变形。 由平截面规律知，在梁变形后该微段梁两端相对地旋转了一个角度d ，如果以ρ代表梁变曲后中性层 的曲率半径，因中性层在梁弯曲变形后的长度不变，所以   距中性层y处的纵向纤维ab变形前的长度为 变形后为 其纵向线应变则为 对于选定的横截面，式中的ρ为常量，故此式表明弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变ε与该点至中性轴的距离y成正比。根据这一关系，可以得到横截面上的正应力按线性分布的规律。 二、应力应变关系 前面已经设想，梁由一束纵向纤维组成。设各纵向纤维之间互不挤压，每根纤维都只受到单向的拉伸或压缩，则在应力不超过材料的比例极限时，横截面上各点的正应力与线应变的关系，应服从虎克定律 将式（a）代入，可得 这就是正应力在梁横截面上分布规律的表达式。此式表明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比；在距中性轴等距离的各点上正应力相等。 三、静力学关系 自纯弯曲的梁中截开一个横截面来分析，如图10-5所示，图中y轴为横截面的对称轴；z轴为中性轴，z轴的确切位置待定。在截面中取一微面积dA，作用于其上的法向内力元素为σdA，截面上各处的法向内力元素构成了一个空间平行力系。 将式(b)代入上式，得 因 为满足上式，必然 式中，积分 为截面图形对z轴的静矩，故 显然，式中横截面积A≠0，故yc=0。这说明横截面的形心就在z轴上，也就是说，中 性轴必然通过横截面的形心。这样，就确定了中性轴的位置。 内力元素σdA对z轴之矩的总和组成了横截面上的弯矩，即 将式（b）代入得 令 则式（c）可以写为 或 将式（10-2）代入式（b），得到 §10-2 惯性矩的计算 一、简单截面的惯性矩 (1)矩形截面 设矩形截面的高和宽分别为h和b，通过其形心O作y轴和z轴，如图10-9所示。现求对z轴的惯性矩Iz。取到中性轴为y、宽为b、高为dy的狭长条的微面积，即取dA=bdy，则由惯性矩的定义，积分得 同理可得对y轴的惯性矩 (2)圆形与圆环形截面 设圆形截面的直径为D，y轴和z轴通过圆心O，如图10-10(a)所示。取微面积dA，至圆心距离为ρ，根据圆形截面对圆心的惯性矩为 件为 式中Mmax——梁的最大弯矩； Wz——梁横截面的抗弯截面模量； ［σ］——材料的许用弯曲应力。 二、弯曲剪应力强度计算 就整个梁而言，梁的最大剪应力τmax在最大剪力Qmax所在的截面内，且一般在此截面的中性轴上。此外,梁的弯曲正应力σ=0，处于纯剪切状态。因此，梁的剪应力强度条件是 式中Smax——中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩； b——截面在中性轴处的宽度； ［τ］——材料的许用剪应力。 在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常是先按正应力强度条件选择横截面的尺寸和形状，必要时再按剪应力强度条件进行校核。一般对以下几种情况需要进行剪应力强度校核： （10-20） (1)若梁较短或载荷很靠近支座，这时