24。1。2垂直于弦的直径.pptVIP

１．（１）圆是轴对称图形吗？ （２）如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ （３）你是用什么方法解决上述问题的? 答：圆是轴对称图形. 答；圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 答：利用对折的方法即可解决上述问题. ●O ２．（１）圆是中心对称图形吗？ （２）如果是,它的对称中心是什么? （３）你又是用什么方法解决这个问题的? 答：圆也是中心对称图形. 答：它的对称中心就是圆心. 答；用旋转的方法即可解决这个问题. ③AM=BM, AB是⊙O的一条弦. （３）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？ 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. ●O （１）左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 发现图中有: A B C D M└ 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. （２）说出图中的弦和弧（优弧．劣弧） 如图理由是: 连接OA,OB, ●O A B C D M└ 则OA=OB. ∵OA=OB，OM⊥ＡＢ， ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴AC =BC, ⌒ ⌒ 　AD =BD. ③AM=BM, 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 定理 垂直于弦的直径 平分弦,并且平分弦所的两条弧. 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 是 不是 是 不是 O E D C A B 例１．如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC = BD A B C D O E 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE = BE, CE = DE ∴AE － CE = BE － DE 即 AC = BD 辅助线：垂直于弦的直径。 实际上从圆心作与弦垂直的线段。 变 换 A B C D O 1、如图1，在⊙O中, AB是 弦, OC = OD。 求证：AC = BD (1) A B C D O 2、如图2，在⊙O中, CD是 弦, OA = OB。 求证：AC = BD (2) ①直线CD过圆心O ② CD⊥AB 垂径定理： ③AM=BM ④AD=BD ⑤AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · A B C D O M 如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？ ①直线CD过圆心O③ AM=BM ②CD⊥AB ④AD=BD ⑤AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ? (AB不是直径) ①直线CD过圆心O③ AM=BM(AB不是直径) ②CD⊥AB ④AD=BD ⑤AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 条件 结论 垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 · A B C D O M 几何语言: 垂径定理及逆定理 ●O A B C D M└ 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 例2.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 垂径定理的应用 解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. AB=37.4 CD=7.2 AD= AB= ×37.4=18.7 OD=OC－DC=R-7.2 OA2=AD2 + OD2 即：R2 = 18.72 + ( R