几何证明选讲1.ppt

直角三角形的射影定理 选修4-1相关定理 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项. 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 练习 圆周角定理 选修4-1相关定理 圆心角、圆周角、圆内(外)角 圆周角定理、圆心角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 练习 1.AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的外接圆直径，求证：AB·AC＝AE·AD. 圆内接四边形的性质与判定定理 选修4-1相关定理 圆内接四边形的性质定理 定理1：圆的内接四边形的对角互补 定理2：圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角. 圆内接四边形的判定定理 定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论1：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论2：如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆. 圆的切线的性质及判定定理 选修4-1相关定理 切线的性质定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 练习 弦切角的性质 选修4-1相关定理 弦切角 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角. 要点： 顶点在圆上 一边和圆相交 一边和圆相切 弦切角的性质 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 练习 1.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD 与圆有关的比例线段 选修4-1相关定理 相交弦定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 割线定理、切割线定理、切线长定理 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 练习 1. 圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，PD=4PC，求CD的长. 2. 两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB延长线上的任一点，从P引两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD. 3. ⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心，已知PA=6，AB= ，PO=12，求⊙O的半径. * * A B C D 证明原理：相似三角形对应边成比例 C D F 圆心角：如∠BOA 圆内角：如∠BCA 圆周角：如∠BDA 圆外角：如∠BFA 角的顶点在圆周上 是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢? 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. 化归 化归 圆周角定理 分类讨论 完全归纳法 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. O B A D E C D C E B F A O D C E O1 B F A O2 比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小 如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？ ⊙O1和⊙O2是等圆，若弧AB＝弧CD，则∠E和∠F是什么关系？反过来呢？ 2.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB，弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PD C D P B A O O C B A D E 3.如图，AB与CD交于圆内一点P，求证：弧AD的度数与弧BC的度数的和的一半等于∠APD的度数. C D B A 4.ΔABC内接于⊙O，弧AB=弧AC，点D是BC弧上任意一点，AD=6cm，BD=5cm，CD=3cm，求DE的长. 5.ΔABC中，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交ΔABC 的外接圆于E，连接BE，求证：BE=DE. 6.ΔABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，CE⊥AD，E为垂足，CE的延长线交AB于点F，求证：AC2=AF·AB. C B A D O E F ∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180° ∠EAB＝∠BCD ∠FCB＝∠BAD 对角互补 外角 内对角 上述定理的逆命题是否成立？ 证明原理：穷举法+反证法 与圆周角定理有什么关系？ B A D C O P 若∠ADB＋∠ABC＝180°，则ABCD四点共圆； 若∠PAD=∠DCB，则ABCD四点共圆； 若∠ADB=∠ACB，则ABCD四点共圆； 练习 1.⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O