第三节圆周角和圆心角的关系(一)课件.ppt

课内拓展延伸 北师大版教材 回顾与思考 如图1 ,∠AOB是 角。 O A B 如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小关系是： 。 B A O C D 圆心 相等 用心想一想，马到功成 在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。 用心想一想，马到功成 如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角的大小相等吗？ 你能观察到这三个角有什么共同特征吗? 用心想一想，马到功成 为解决这个问题我们先来研究一种角。 观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ A B C 用心想一想，马到功成 观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。 A B C 请同学们考虑两个问题： （1）顶点在圆上的角是圆周角吗？ （2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？ 为解决这个问题，我们先回答下面的问题。 下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。 A B C D E 由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。 你能总结出圆周角的特征吗？ 圆周角有两个特征： ①角的顶点在圆上； ②两边在圆内的部分是圆的两条弦。 用心想一想，马到功成 我们再来研究圆周角的性质。 为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。 A C 用心想一想，马到功成 归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。 ①∠ABC的一边BC经过圆心O。 ②∠ABC的两边都不经过圆心O。 ③∠ABC的两边都不经过圆心O。 请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。 B A O C ① A B C O ② B A C O ③ 下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。 B A O C ∵ ∠AOC是△ABO的外角， ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∴ ∠AOC=2∠ABO， ∴ ∠ABC= ∠AOC。 1 2 如图,我们可以观察到∠AOC是△ABO的外角，∠ABC是△ABO的一个内角，它们两者存在一定关系. 下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。 B A O C ∵ ∠AOC是△ABO的外角， ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∴ ∠AOC=2∠ABO， ∴ ∠ABC= ∠AOC。 1 2 那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？ A B C O B A C O 我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。 A B C O 也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。 D （此时我们得到与图①同样的情形） 1 3 2 B A O C ① ∵ ∠1是△ABO的外角， ∴ ∠1=∠2+∠3。 ∵ OA=OB， ∴ ∠2=∠3。 ∴ ∠1=2∠2， ∴ ∠2= ∠1。 1 2 5 4 1 2 同理, ∠4= ∠5。 1 2 ∴ ∠2+∠4= （ ∠ 1+∠5） 。 ∴ ∠ABC= ∠AOC。 1 2 B A C O B A O C ① 如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形） D ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， ∴ ∠ABD= ∠AOD。 1 2 B A C O B A O C ① 如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形） D ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， ∴ ∠ABD= ∠AOD。 1 2 同理 , ∠CBD= ∠COD。 1 2 B A C O B A O C ① 如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形） D ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， ∴ ∠ABD= ∠AOD。 1 2 同理 , ∠CBD= ∠COD。 1 2 ∴ ∠ABD－∠CBD= ∠AOD－ ∠COD = （∠AOD－∠COD）。 ∴ ∠ABC= ∠AOC 1 2 1 2 1 2 1