第三章 刚体力学课件.ppt

例2，长为 的均质棒，一端抵在光滑墙上 而棒身则斜靠在与墙相距为 的光滑菱 角上，求棒在平衡时与水平面的夹角 N1 N2 G A B y x 可用平衡方程和三线汇交于一点的几何方法 §3.5 转动惯量 一、刚体的动量矩（角动量） 1.矢量式 假设刚体在某一时刻以角速度 绕某瞬时轴线做定点转动，在其内部任取一质点 ，质量为 ，速度为 。若该质点相对于定点O的位矢是 ，则它对定点O的角动量为 O x y z 整个刚体的角动量则为 由于两矢量点积是一标量，所以上式表明 和 一般不共线，而是成一定的夹角。只 有当下面两种情况， 不仅共线而且 同向（1）刚体做平面平行运动 绕质心的转动，在上述表达式的第二项， 以质心为 ，所以为零，因而 （2）刚体做定点转动，但转轴 为惯量主轴（本节后面部分） 也可从任意一平行于固定平面的薄片能代表整个刚体的运动来理解，o点在薄片上，从特殊到一般 2.刚体角动量的分量式 在某固定坐标系下（下面求和符号均表示是从i到n求和） ? ? ? ? ? ? + + - - = - + + - = ) ( ) ( 2 2 2 2 i i i z i i i y i i i x z i i i z i i i y i i i x y y x m y z m x z m J z y m x z m x y m J w w w w w w 类比于上式 定义 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = = - = = + = = = = + = ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 i i i zz i i i zy i i i zx i i i yz i i i yy i i i yx i i i xz i i i xy i i i xx y x m I y z m I x z m I z y m I x z m I x y m I z x m I y x m I z y m I 比较有规律，对角线上为正，非对角为负 ，系数（正负包括在内）则是惯量张量。 二、刚体的转动动能 刚体的转动动能的另一种表达形式： 转动惯量 O’ O ri ω θi 三、转动惯量 转动惯量，是表征物体转动时转动惯性大小的 一种量度，与平动时的质量相当。有大小没有 方向。转动惯量总是针对于某轴来说的， 因此其大小，一方面取决于质量的分布，一方面 取决于转动轴。比如，一根均质棒绕垂直于端点 和绕垂直于中心的轴线转动，显然其转动惯性的 大小不一样，所以其转动惯量也不一样。练习求 均质圆盘或圆环绕x和z轴的转动惯量；可以以 它们为微元求实心球或圆柱体，空心球或圆筒的 绕通过圆心的轴线的转动惯量。 微元相对于转轴的垂直距离 离散 连续 （离散的采用求和，连续的采用积分）但存在 着本质的区别。除概念上的不同外，另一方面，一质点组确定后，质心则是确定的，不因参考点的不同而不同（相对刚体的空间位置），但刚体对不同的转动轴线，如前面所讲是不同的。 对于质量分布不均或形状不规则，两者均 从实验得出 对质量均匀分别或按一定规律分布的刚体，求转动惯量的方法与求质心类似。 平行轴定理：对质量为 m 的刚体，若对其质 心轴的转动惯量为 ，则对任意一平行于 质心轴，相距为d的轴线的转动惯量为 对任意两平行轴，则要经过一定的变换 分别为两轴线到与它们平行的质心轴的距离 回转半径：对质量按一定规律分布的刚体，可 认为在转动中，等效于质量集中在某一点上的 一个质点的质量，该点离某轴线的垂直距离为 K,则刚体对该轴线的转动惯量与该等效质点对 同一轴线的转动惯量相等，即 称为回转半径 四、惯量张量和惯量椭球 1.对xyz轴的转动惯量和惯量积 在某静止坐标系下，对质量分布均匀，且形状规则的刚体 分别称为刚体对x,y,z轴的转动惯量 而 叫做惯量积 2.在静止坐标系，刚体对通过原点O的任意轴线的转动惯量 若某一通过点O的瞬时轴线（取角速度的方向为正向）对x,y,z轴的方向余弦为 则 代入上式则得刚体 对通过原点o的任意轴线的转动惯量 只需某时刻三个对轴的转动惯量和三个惯量积（随时间可能变化），则对任意过o点瞬轴的转动惯量便可通过该式求解 3.惯量张量 该矩阵称为对O点惯量张量。具有九个分量的物理量是二阶张量，因而对O点惯量张量是一二阶张量，其组元称为惯性系数，其如此排列的原因一方面取决于二阶张量形式， 另一方面取决于下面原因 固定坐标系：三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的物理量来代表刚体转动时转动惯性的量度可按一定