第二章 有限元法课件.ppt

有限元法的基本思路 （1）建立数学模型，包括确定基本变量、导出基本方程、确定求解域和边界条件等。 （2）将作为求解域的连续体结构离散为若干个单元，并通过这些单元边界上的节点相互联结成为外形不变的单元组合体。 有限元法的基本思路 有限元法的基本思路 （3）对于二维平面问题而言，每个单元节点处都有x方向和y方向两个位移分量，单元上非节点处的位移通过线性插值给定。 节点位移分已知和未知两类，已知位移的节点都位于位移已确定的边界段上，通过剔除已知节点位移，使有限元求解线性方程组具有惟一解，解之即得所有节点的位移，再利用位移与应变和应力之间的关系，就可求得个单元应力。 2.2 弹性力学基本方程 2.2 弹性力学基本方程 2.2.2 几何方程 平面问题的几何方程也就是寻出应变分量与位移分量之间的关系式。 经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y轴的方向取两个微小长度的线段PA=dx和PB=dy。 弹性体受力后，P、A、B分别移动到P′、A′、B′。 2.2 弹性力学基本方程  2.2 弹性力学基本方程 首先来求出线段PA和 PB的正应变，即εx和εy，用位移分量来表示。 设P点在x方向的位移分量是u，则A点在x方向的位移分量由于x坐标的改变dx，将是 2.2 弹性力学基本方程  可见线段PA的正应变是 （a） 2.2 弹性力学基本方程 同样，设P点在y方向的位移分量是v，则B点在y方向的位移分量由于y坐标的改变量dy，将是 2.2 弹性力学基本方程  则线段PB的正应变是 （b） 2.2 弹性力学基本方程 现在来求出线段PA和PB之间的直角的改变，即剪应变γxy，用位移分量u和v来表示。 由图可见，这个剪应变是由两部分组成的：一部分是由y方向移分v引起的，即x方向的线段PA的转角α；另一部分是由x方向移分u引起的，即y方向线段PB的转角β。 2.2 弹性力学基本方程  设P点在y方向的位移分量是v，则A点在y方向的位移分量将是 2.2 弹性力学基本方程 因此线段PA的转角是 2.2 弹性力学基本方程  同样，可得线段PB的转角是 2.2 弹性力学基本方程 可见，PA与PB之间的直角的改变（以减小时为正），也就是应变γxy为 （c） 2.2 弹性力学基本方程  综合（a）、（b）、（c）三式，得出平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式，即几何方程为 2.2 弹性力学基本方程 由上列几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时（表示成x和y的确定函数时），应变分量即完全确定。 反之，当应变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定，因为刚体位移是位移函数的常数项，不出现在微分形式的应变分量中。 2.2.2 几何方程 第三节 弹性力学平面有限元法 本节以三角形单元作为典型，讨论如何建立单元位移函数，以及如何建立有限元求解方程的问题。 2.3 单元刚度矩阵和结构整体刚度矩阵 将一个二维域离散成有限个三角形单元，如图所示. 二维域离散 在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界，随着单元增多，这种拟合将趋于精确。 2.3.1 单元位移函数 首先，建立x－y坐标系，以三角形单元为研究对象，其节点编码为i，j，m，并规定以逆时针方向编码为正向，每个节点可以有2个位移分量（ui，vi；uj，vj；um，vm），也称为具有2个节点自由度，如下图所示。 2.3.1 单元位移函数 3节点三角形单元 2.3.1 单元位移函数 每个节点的位移分量还可以向量（列矩阵）形式表示，即 每个单元共有6个节点位移，即6个节点自由度，统一写成矩阵形式为 （1）广义坐标 单元的位移函数用于描述单元上任一点的位移。 可以考虑采用多项式作为近似位移函数，多项式函数运算简便，且随其项数的增多，理论上可以逼近任何精确函数。 3节点三角形单元近似位移函数一般选取一次多项式，即将单元上任意点（x，y）的位移近似描述为该点坐标x和y的线性函数 （1）广义坐标