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2014年全国高中数学试题联赛 篇一：2014全国高中数学联赛试题 2014全国高中数学联赛试题 一、填空题 1、若正数a,b2?log2a?3?log3b?log(a?b),则 11 ?的值为__________ ab 2、设集合{?b|1?a?b?2}中的最大值与最小值分别为M,m，则M?m=_________ 3、若函数f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上单调递增，则a的取值范围为_______ 4、数列{an}满足a1?2,an?1? 3a 2(n?2)a2014 an(n?N?)，则=_________ n?1a1?a2?...?a2013 5、已知正四棱锥P?ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是_____________ 6、设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q，若|PF2|?|F1F2|，且 3|PF1|?4|QF1|，则椭圆?的短轴与长轴的比值为__________ 7、设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I。若点P满足PI?1，则?ABC与 ?APC的面积之比的最大值为__________ 8、设A,B,C,D是空间四个不共面的点，以 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之2 间是否连边是相互独立的，则A,B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________ 二、解答题 P是不在x轴上一个动点，9、平面直角坐标系xOy中，满足条件：过P可作抛物线y?4x 的两条切线，两切点连线lP与PO垂直。设直线lP与PO，x轴的交点分别为Q,R， （1）证明：R是一个顶点 （2）球 2 |PQ| 的最小值 |QR| 10、数列{an}满足a1? ? ,an?1?arctan(secan)(n?N?)求正整数m，使得 6 sina11sina2......sianm? 10 0 11、确定所有的复数?，使得对任意的复数z1,z2(z1??)2??z1?(z1??)2??z2 |z1|,|z2|?1,z1?z2），均有 （ 2014全国高中数学联赛二试 一、（本题满分40分）设a,b,c?R，满足a?b?c?1，abc?0， 求证：bc?ca?ab? abc1 ? 24 篇二：2014年全国高中数学联赛试题及答案 2014年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数f(x)? x?5?24?3x的值域是 . 2. 已知函数y?(acos2x?3)sinx的最小值为?3，则实数a的取值范围是3. 双曲线x2?y2?1的右半支与直线x?100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中 a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，且存在常数?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??， 则???? . 5. 函数f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1) 在区间x?[?1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B?A1P?B1??,则sin?? . 8. 方程x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解（x,y,z）的个数是 .二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)，当0?x?1时，f?(x)?1，试求a的最大值. 10.（20分）已知抛物线y?6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1?x2且 2 x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求?ABC面积的最大值. 11.（20分）证明：方程2x?5x?2?0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得 1 3 2 ?ra1?ra2?ra3??. 5 解 答 1. [?3,3]提示：易知f(x)的定义域是?5,8?，且f(x)在?5,8?上是增函数，从而可知 f(x)的值域为[?3,]. 2. ? 3 ?a?12 提示：令sinx?t，则原函数化为g(t)?(?at2?a?3)t，即 2 g(t)??at3?(a?3)t. (t?1)(?at(t?1)?3)?0 及t?1?0 知由?at3?(a?3)t??3，?at(t2?1)?3(t?1)?