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2014年初中数学联赛 篇一：2014年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案 2014年全国初中数学联赛决赛试题 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知x,y为整数，且满足(? 1 x111211 )(2?2)??(4?4)，则x?y的可能的值yxy3xy 有 【 】 A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个 2．已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1，则t?2xy?yz?2zx的最大值为 【 】 A． 45912 B． C． D．791625 3．在△ABC中，AB?AC，D为BC的中点，BE?AC于E，交AD于P，已知BP?3，PE?1，则AE＝ 【 】 A B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】 A． 1223 B． C． D．2534 35．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}?t?[t].已知实数x满足x? 1 ?18，3x 1x11 A． B ．3 C ．(3D．1 22 6．在△ABC中，?C?90?，?A?60?，AC?1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ?ADE?90? ,则BE的长为 【 】 1 A ．4? B ．2 C ．1) D 1 2 则{x}?? 【 】 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数a,b,c满足a?b?c?1， 111 ???1，则 a?b?cb?c?ac?a?b abc?____． 9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为 ． 17n?k15 3．已知P为等腰△ABC内一点，AB?BC，?BPC?108?，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则?PAC? ． 2．使得不等式 2 4．已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c，a?b?c?111，b?ac，则b?． 三、（本题满分20分）设实数a,b满足a2(b2?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求 11?的值． a2b2 四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足?ECD??ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明：?DFE??AFB． D F B 五、（本题满分25分） 设n是整数，如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz，则称n具有性质P. （1）试判断1，2，3是否具有性质P； （2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P的数有多少个？ 3 3 3 2014年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知x,y为整数，且满足(? 1 x111211 )(2?2)??(4?4)，则x?y的可能的值yxy3xy 有 【 】 A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个 【答】 C. x?yx2?y22x4?y4 由已知等式得?22??44，显然x,y均不为0，所以x?y＝0或 xyxy3xy 3xy?2(x?y). 若3xy?2(x?y)，则(3x?2)(y3? ?x??1， 或2?)?.又4x,y为整数，可求得?y?2,? ?x??2， 所以x?y?1或x?y??1. ? ?y?1. 因此，x?y的可能的值有3个. 2．已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1，则t?2xy?yz?2zx的最大值为 【 】 A． 45912 B． C． D．791625 【答】 A. 1 t?2xy?yz?2zx?2x(y?z)?yz?2x(y?z)?(y?z)2 4 1731734 ?2x(1?x)?(1?x)2??x2?x???(x?)2?， 4424477324 易知：当x?，y?z?时，t?2xy?yz?2zx取得最大值. 777 3．在△ABC中，AB?AC，D为BC的中点，BE?AC于E，交AD于P，已知BP?3，PE?1，则AE＝ 【 】 A B C D 【答】 B. BE?AC，因为AD?BC，所以P,D,C,E四点共圆，所以BD?BC?BP?BE?12， 又BC? 2BD，所以BD ，所以DP?. 又易知△ AEPBDP，所以 AEPE ?BDDP ，从而可 得 AE? PE?BD?? DP4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】 A． 1223 B．