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高中数学选修2-1逻辑用语与圆锥曲线练习
一,选择题
1. “若则”,假设逆命题为真,则是的( )
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2. 成立的一个充分非必要条件是( )
A.B.C.D.
3.下列四个命题中真命题是( )
①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1,则方程x2-2x+m=0有实根”的逆否命题 ④“若A∩B=B,则AB”的逆否命题
(A)①② (B)②③ (C)①②③ (D)③④
4.在△ABC中,“A>30(”是“sinA>”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
5.抛物线截直线所得弦长等于( )
A. B. C. D.15
6.设是椭圆的两个焦点,是椭圆上的点,且,则
的面积为( )
A.4 B.6 C. D.
7.如图,圆的半径为定长,是圆外一个定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和直线相交于点,当点在圆上运动时,点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
8.设P为椭圆上一点,两焦点分别为,如果
,则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二,填空题
9.、是不同的两个平面,直线,命题无公共点;
命题, 则的 条件(用“充分、必要、充要”填空)
10.给出四个命题:①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②在中,“”是“三个角成等差数列”的充要条件;③是的充要条件;④“am2bm2 ”是“ab”的充分必要条件.其中真命题有 .(填序号)
的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程为 .
12.过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,则这条弦所在的直线方程是 .
13.动点在曲线上移动,则点和定点连线的中点的轨迹方程是 .
14.如图,已知、是椭圆
的左、右焦点,点在椭圆 上,线段与圆相
切于点,且点为线段的中点,则= ;椭圆的离心率为 .
解答题:
15. 已知p: ,q: ,若是的必要不充分条件,求实数m的取值范围。
16. 已知数列{} 、{}、{},其中{} 、{}是等比数列.对于任意正整数,、、都成等差数列,且.试证明:“数列{}成等比数列”的充要条件是“数列{} 与{}公比相等”.
17. 已知椭圆的离心率,过的直线到原点的距离是.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线交椭圆于不同的两点且都在以为圆心的圆上 ,求的值.
18. 在双曲线的一支上有不同的三点,它们与点的距离依次成等差数列。
(1)求的值;
(2)求证:线段的垂直平分线经过某一定点,并求出定点的坐标。
参考答案:
1~8 B C A D A B C A
9. 必要 10. ①②④ 11.
12. 13. 14. 0 ,
15. 解:由p:
16. [证明]充分性 设数列{} 与{}的公比都是,则,,而,又,故{}是公比为的等比数列.充分性得证.
必要性 若数列{}是等比数列,设数列{} ,{},{}的公比分别为,
则,由得: (4)
将(2)的两边平方得 (5)
比较(4)(5)两式得,故,即数列{} 与{}公比相等.必要性得证.
17. 解(1)∵ .∴ a = 2b ,
∵ 原点到直线AB:的距离.∴ b = 2 ,
∴ 故所求椭圆方程为
(2)把中消去y ,整理得
.可知
设的中点是,则
∴ 即 .
又 k ( 0 ,∴ = .故所求k=±
18. 解析:(1),为上焦点,上准线方程为,根据圆锥曲线的共同性质有:,
,,由知。(2)设的中点为,则,因此点的坐标为,∵在双曲线上,∴,
作差得,∴,故,∴的垂直平分线的方程为,令得,故的垂直平分线恒过定点。
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