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第2课时 弧、弦、圆心角和圆周角 1.圆心角的定义 (1)定义:我们把________在________的角叫做圆心角. (2)特征:顶点在圆心. 顶点 圆心 2.弧、弦、圆心角之间的相等关系 (1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_______,所 对的弦________. 相等 相等 (2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆 心角________,所对的弦也________. 相等 相等 (3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆 心角________,所对的弧也________. 相等 相等 3.圆周角的定义 顶点在________上,并且两边都______________的角叫做 圆周角. 圆周 和圆相交 4.圆周角定理及推论 同弧或等弧 圆心角 定理:在同圆或等圆中,________________ 所对的圆周角 相等,都等于这条弧所对的______的一半. 推论 1:在同圆或等圆中,如果两个________相等,它们 所对的弧一定相等. 圆周角 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是________,90°的圆 周角所对的弦是直径. 直角 5.圆内接多边形 同一个圆 外接圆 如果一个多边形的所有顶点都在________上,这个多边形 叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的________. 6.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角______. 互补 知识点1 弧、弦、圆心角的关系 【例 1】 如图 24-1-15,已知⊙O 的弦 AB 与半径 OE,OF 分别交于点 C,D,且 AC=BD. 求证:(1)OC=OD; 图 24-1-15 思路点拨:作 OH⊥AB 交 AB 于点 H,构造垂径定理. 证明:(1)作 OH⊥AB 交 AB 于点 H,交圆于点 G, ∵OH⊥AB,∴AH=BH. 又∵AC=BD,∴CH=DH. ∴△OCH≌△ODH. ∴OC=OD. 【跟踪训练】 1.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量 之间,如果有一组量相等,那么,它们所对应的其他量也相等. 如图 24-1-16,AB,CD 是⊙O 的两条弦. 图 24-1-16 (1) 若 AB = CD ,则有 _______ = _______ , _______ = _______; (3)若∠AOB=∠COD,则有 _______=_______, _______ =_______. ∠AOB ∠COD AB CD ∠AOB ∠COD AB CD 2.游乐园的大观览车半径为 26 米,如图 24-1-17 所示, 已知观览车绕圆心 O 顺时针作匀速运动,旋转一周用 12 分钟. 小丽从观览车的最低处(底面 A 处)乘车,问经过 4 分钟后, (1)试求小丽随观览车绕圆心 O 顺时针旋转的度数; (2)此时,小丽距地面 CD 的高度是多少米? 图 24-1-17 解:∵观览车绕圆心 O 顺时针作匀速运动,旋转一周用12 分钟, ∴经过 4 分钟后,旋转了 4 12 ×360°=120°. (2)如图D31,连接OA,在⊙O 上取点B,使∠AOB=120°, 分别过点 B,O 作 BF⊥CD 于点 F,作 OE⊥BF 于点 E. ∵OB=26, ∴∠BOE=120°-∠EOA=30°, ∴BE=13 米. 则 BF=13+26=39(米). 答:小丽距地面 CD 的高度是 39 米. 图D31 知识点 2 圆周角定理及推论的应用 【例 2】 如图 24-1-18,将三角板的直角顶点放在⊙O 的圆 心上,两条直角边分别交⊙O 于 A,B 两点,点 P 在优弧 AB 上, 且与点 A,B 不重合,连接 PA ,PB.则∠APB=______. 图 24-1-18 思路点拨:本题考查了圆周角定理的运用.关键是确定同 弧所对的圆心角和圆周角,利用圆周角定理即可. 答案:45° 【跟踪训练】 3.如图 24-1-19 是中国共产主义青年团团旗上的图案,点 A,B,C,D,E 五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ( ) A 图 24-1-19 A.180° B.150° C.135° D.120° 4.如图 24-1-20,已知 BD 是⊙O 的直径,⊙O 的弦 AC⊥ ) A BD 于点 E,若∠AOD=60°,则∠DBC 的度数为( 图 24-1-20 A.30° B.40° C.50° D.60° 知识点 3 圆内接四边形的性质 【例 3】 如图24-1-21,已知
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