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13.1.2 线段的垂直平分线的性质 * 1.线段垂直平分线的性质与判定： (1)性质：线段垂直平分线上的点与 这条线段两个端点的距离_____. 应用格式：如图用符号语言表示为：∵l⊥AB，CA=CB， ∴___=___. 相等 PA PB * (2)判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的_____________. 应用格式：如图：用符号语言表示为： ∵PA=PB， ∴______________________. 垂直平分线上 点P在AB的垂直平分线上 * 2.线段垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看成 到___________________的所有点的集合. 线段两端点距离相等 * 3.已知线段AB垂直平分线的作图步骤： (1)分别以点_____为圆心，以____________ 为半径作弧，两弧相交于C，D两点. (2)作直线___即为所求的直线. A，B CD * 【思维诊断】打“√”或“×” 1.点A和点B成轴对称，其对称轴就是线段AB的垂直平分 线.　( ) 2.若PC=PD，那么点P在线段CD的垂直平分线上.　( ) 3.在同一平面内，若PA=PB，MA=MB，则直线MP就是线段AB的 垂直平分线.　( ) 4.若PA=PB，那么过点P的直线就是线段AB的垂直平分 线.　( ) 5.可以用线段垂直平分线的尺规作图找出线段的中点.( ) √ √ √ × √ * 知识点一 线段的垂直平分线 【示范题1】(2013·临沂中考)如图， 四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足 为E，下列结论不一定成立的是(　　) A.AB=AD　　　　B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC * 【思路点拨】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可得AB=AD，BC=CD，再根据全等三角形的性质可得AC平分∠BCD，进而可证明△BEC≌△DEC. 【自主解答】选C.∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD， ∴△ABD，△BCD是等腰三角形， ∴AC平分∠BCD， 再应用“SAS”判定△BEC≌△DEC， ∴选项A，B，D正确. * 【想一想】 利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质都可以证明线段相等吗? 提示：可以.它们都是证线段相等常用的方法. * 【微点拨】利用线段的垂直平分线的性质可以证明两线段相等，在证明相等时只需直线满足垂直、平分线段即可得到到两端点的距离相等，不用再通过证三角形全等去证明线段相等. * 【备选例题】(2014·建邺区一模)两组邻 边分别相等的四边形我们称它为筝形. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC， AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 　　　　　(填序号). ①AC⊥BD；②AC，BD互相平分；③AC平分∠BCD； ④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为 AC·BD. * 【解析】∵在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS). ∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD.故③正确； ∵AC平分∠BAD，∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形， ∴AC，BD互相垂直，但不平分.故①正确，②错误； ④没有条件证明，不正确，∵AC，BD互相垂直， ∴筝形ABCD的面积为： AC·BO+ AC·OD= AC·BD. ⑤正确；正确的说法是①③⑤. 答案：①③⑤ * 【方法一点通】 线段垂直平分线的性质和判定的“三点应用” 1.使用性质可以证明线段相等. 2.使用判定能够证明垂直关系. 3.利用线段垂直平分线的判定可以得出作一条线段的垂直平分线的方法. * 知识点二 作对称轴 【示范题2】如图，△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，请你作出它们的对称轴. * 【教你解题】 * 【想一想】 任意形状的一个图形能作对称轴吗? 任意形状的两个图形能作对称轴吗? 提示：只有轴对称图形和成轴对称的两个图形才能作出对称轴，其余图形都不能. * 【方法一点通】 作对称轴的“三字诀” 1.找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键点都是找出图形中的任意一对对应点. 2.连：连接这对对应点. 3.作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是这两个成轴对称的图形或这个轴对称图形的一条对称轴. * * * * *