专题一因动点产生的等腰三角形问题.docx

专题一 因动点产生的等腰三角形问题例1、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．例2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．例3、（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8， 点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若，求∠F的度数；（2）设写出与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．第25题例4、25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°． （1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；ABECDABCED第25题图（备用图）（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．专题一 引动点产生的等腰三角形问题答案例1、【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。 （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P，使△PAC的周长最小。设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：。∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。（3）存在。点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。 （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±。③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。例2、考点：二次函数综合题；分类讨论。解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③