专题：椭圆的离心率解法大全.doc

专题：椭圆的离心率 一，利用定义求椭圆的离心率（ 或 ） 1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 2，椭圆的离心率为，则 [解析]当焦点在轴上； 当焦点在轴上， 综上或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是的离心率为 [解析]由，椭圆的离心率为 5，已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为 6，设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。 1，在ABC中，，，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率 2， 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) [解析] 3，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，椭圆的离心率是以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，椭圆的离心率是 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=c c+c=2a ∴e= = -1 变式（1）：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=-1 变式（2） 椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴= 又 ∵b= ∴a2=5c2 e= 变式(3):将上题中的条件“PF2 ∥AB”变换为“∥(为坐标原点)” 相似题：椭圆 +=1(ab 0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜= a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去) 变式(1):椭圆 +=1(ab 0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。 性质：（1）∠ABF=90° （2）假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。 （3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 变式(2): 椭圆(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e = ． 提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：，但 4，设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 解：设 法1：利用椭圆范围。 由得，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得。 由椭圆的性质知，得。 附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似） 法2：判别式法。 由椭圆定义知，又因为， 可得，则， ，是方程的两个根，则 解法3：正弦定理 设记 又因为，且 则 则， 所以 解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得 解法6：巧用图形的几何特性 由，知点P在以为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有 变式(1)：圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0） = 根据和比性质： = 变形得： ==e ∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= = 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e= 变式(2)：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）e=== ≥ ∴≤e1 变式(3)：过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率e的值 解析：因为，再由有从而得 变式(4)：若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。{} 变式(5)：8、椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设