空间距离求法-学生版.doc

1.七种常见的空间中的距离 (1)两点间的距离——连结两点的线段的长度． (2)点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂线，点和垂足间的长度． (3)点到平面的距离——从点向平面引垂线，点和垂足间的长度． (4)平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，点和垂足间的长度． (5)异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的公垂线段的长度． (6)直线平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，点和垂足间的长度． (7)两平行平面间的距离——夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度． 2．求距离的常用方法与一般步骤 (1)求距离的常用方法 ①直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解． ②等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离． (2)求距离的一般步骤 “一作”：即先作出表示距离的线段(要符合作图规则，避免随意性)； “二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段(证明要符合逻辑且推理正确)； “三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取． 1.已知平面α∥平面β，直线m?α，直线n?β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则(　　) A．b≤c≤a　　　　　　　 B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a 2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　) A. B. C. D. 3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A．5 B. C. D．84．四边形MNPQ是边长为a的菱形，NMQ＝60°，将此菱形沿对角线NQ折成60°的二面角，则此时MP与NQ间的距离为(　　) A. B.a C.a D.a 5．在RtABC中，C＝30°，B＝90°，D是BC的中点，AC＝2，DE平面ABC，DE＝1，则点E到斜边AC的距离是(　　) A. B. C. D. 类型一　　点到直线的距离 解题准备：求点到直线的距离的关键是作出点到直线的垂线．在垂足的位置不容易确定时通常可以借助三垂线定理或其逆定理，先作出较容易的垂线，再进行证明即可． 【典例1】　如图，已知四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，若AB＝a，PD＝a，求： (1)P到正方形各顶点的距离； (2)P到正方形各边的距离； (3)P到两条对角线的距离． [点评]　(1)求点到点的距离及点到直线的距离，关键是找到这个距离，两点间的距离较容易求，点到直线的距离则往往需要利用三垂线定理或其逆定理． (2)求点A到直线l的距离时，一般有两种情形：①能直接找到垂线段时，在某个三角形中求出它的长； ②当没有现成的垂线段时，一般地，可以过点A作直线l所在平面的垂线，过垂足M作直线l的垂线，得另一垂足N，连结AN.由三垂线定理可得AN⊥l，则AN的长就是点A到直线l的距离． 探究1：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10 cm，PA⊥平面ABCD，且PA＝5 cm，求： (1)点P到CD的距离；(2)点P到BD的距离；(3)点P到AD的距离 点评：求点到直线的距离，除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法． 类型二　　点到平面的距离 解题准备：求点到平面的距离其方法有三种： 1．用定义，直接作出这段距离，经论证再计算． 2．用二面角的平面角性质：平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面．先作“点”所在平面与另一边所在平面组成的二面角．过“点”作平面角另一边的垂线，此垂线段长即为此“点”到“平面”的距离． 3．转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离． 【典例2】　在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB＝CC1＝a，BC＝b. 设E，F分别为AB1，BC1的中点， 求证：(1)EF∥平面ABC；(2)求证：A1C1⊥AB；(3)求B1到平面ABC1的距离． [点评]　求点到平面的距离，一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离． 如本题(3)的如下解法即用等积法VC1－ABB1