6.4数列求和导学案.DOC

§6.4　数列求和 2014高考会这样考　1.考查等差、等比数列的求和；2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧；3.综合考查数列和集合、函数、不等式、解析几何、概率等知识的综合问题． 复习备考要这样做　1.灵活掌握数列由递推式求通项公式的几种方法；2.掌握必要的化归方法与求和技巧，根据数列通项的结构特点，巧妙解决数列求和的问题． 1．等差数列前n项和Sn＝＝na1＋d，推导方法：倒序相加法； 等比数列前n项和Sn＝ 推导方法：乘公比，错位相减法． 2．数列求和的常用方法 (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．常见的拆项公式 (1)＝－； (2)＝； (3)＝－. [难点正本　疑点清源] 1．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成． (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决． 1．在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________. 答案　54 解析　由等差数列的性质，a2＋a8＝18－a5， 即2a5＝18－a5，∴a5＝6， ∴S9＝＝9a5＝54. 2．等比数列{an}的公比q＝，a8＝1，则S8＝________. 答案　255 解析　由a8＝1，q＝得a1＝27， ∴S8＝＝＝28－1＝255. 3．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝________. 答案　－25 解析　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 4．(2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 答案　D 解析　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20. ∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110. 5．(2012·大纲全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15， ∴∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－， ∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝. 题型一　分组转化求和 例1　已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq (n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求： (1)p，q的值； (2)数列{xn}前n项和Sn的公式． 思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解． 解　(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q， 解得p＝1，q＝1. (2)由(1)，知xn＝2n＋n， 所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n) ＝2n＋1－2＋. 探究提高　某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 求和Sn＝1＋＋＋…＋. 解　和式中第k项为 ak＝1＋＋＋…＋＝＝2. ∴Sn＝2 ＝2[(1＋1＋…＋1－(＋＋…＋)] ＝2＝＋2n－2. 题型二　错位相减法求和 例2　设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 思维启迪：(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减．