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26.1反比例函数 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、理解反比例函数的定义； 2、用待定系数法确定反比例函数的表达式； 3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质； 【重点难点】 用待定系数法确定反比例函数的表达式； 反比例函数的图象画法，反比例函数的性质； 知识概览图 反比例函数的定义 反比例函数 反比例函数的图象与性质 新课导引 【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围栏建一个面积为24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式. 【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制? 教材精华 知识点1反比例函数的定义 重点;理解 一般地,形如(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式. y是x的反比例函数(k≠0) xy=k(k≠0) 变量y与x成反比例,比例系数为k. (k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如,等都是反比例函数,但就不是关于x的反比例函数. (2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式. (3)反比例函数中,两个变量成反比例关系. 知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式 难点:运用 由于反比例函数中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式. 其一般步骤: 设反比例函数关系式(k≠0). 把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程. 解方程,求出待定系数k的值. 将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式. 知识点3反比例函数图象的画法 难点;运用 反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下: (1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值. (2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找. (3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交. 说明:在图象上注明函数的关系式. 拓展 (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的. (2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限. (3)反比例函数(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称. (4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0. 知识点4反比例函数(k≠0)的性质 难点；灵活应用 (1)如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. (2)由反比例函数的图象可知，当k＞0时，在每一象限内，y值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y值随x的增大而增大. (3)因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，国此，不论x取值何值时，y的值永不为0，同理，图象与x轴也不可能有交点. 拓展 (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号. (2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k＞0，y随着x的增大而减小.同样当k＜0时，也不能笼统地说：y随x的增大而增大. 【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系. 函数 正比例函数 反比例函数 关系式 y=kx(k≠0) (k≠0) 图象 过原点的直线 与坐标轴没有交点的双曲线 自变量的取值范围 全体实数 x≠0的全体实数 图象位置 当k＞0时，图象经过第一、三象限 当k＜0时，图象经过第二、四象限 当k＞0时，图象在第一、三象限 当k＜0时，图象在第二、四象限 性质 当k＞0时，y随x的增大而增大 当k＜0时，y随x的增大而减小 当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小 当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大 知识点5 反比例函数表达式中k