回归教材立体几何.docx

5.立体几何1．几何体的三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图下面，侧(左)视图放在正(主)视图右面，“长对正，高平齐，宽相等．”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．[问题1]　如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．答案　2．空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．[问题2]　如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(　)A．4π B．3πC．2π D.π答案　D3．空间平行问题的转化关系平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[问题3]　判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号．(1)如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面．(　)(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行．(　)(3)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.(　)(4)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.(　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√4．空间垂直问题的转化关系垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等．[问题4]　已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是(　)A．3 B．2C．1 D．0答案　C5．多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．[问题5]　一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是(　)A．96 B．16C．24 D．48答案　D解析　如图，设球的半径为R，由πR3＝，得R＝2.所以正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2，所以a＝4，所以V＝×(4)2×4＝48.易错点1　三视图识图不准例1　如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．易错分析　解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体的形状时出错，不能正确判断其对应的几何体；(2)计算时不能准确把三视图中的数据转化为对应几何体中的线段长度，尤其侧视图中的数据处理很容易出错．解析　该几何体为一个四棱锥，如图所示．CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA＝AD＝CD＝2，AB＝1.PC＝2，PB＝，BC＝.∴S△PBC＝×2×＝.该几何体的表面积S＝＋×2×1＋×2×2＋×2×2＋＝6＋2＋.答案　6＋2＋易错点2　旋转体辨识不清例2　如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积．易错分析　注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积．解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD，在计算时没有减掉半球的体积．解　由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台＝×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×＝π(cm3)．所以旋转体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)．易错点3　线面关系把握不准例3　设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a?α，a?β，则下列结论中不成立的是(　)A．若b?β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α易错分析