2013版高中全程复习方略数学理：选修4-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式(人教A版·数学理).doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 课时提能演练(七十一) 1.(1)若x≠3或y≠－1，M＝x2＋y2－6x＋2y，N＝－10，求M与N的大小关系. (2)当a＞0且a≠1时，求loga(1＋)与loga(1＋a)的大小关系. 2.(1)(2012·咸阳模拟)已知0＜x＜1，a＝2，b＝1＋x，c＝，求a、b、c的大小关系. (2)设a＝－，b＝－，c＝－，求a、b、c的大小关系. 3.(易错题)若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m. (1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围； (2)对任意两个不相等的正数a、b，求证：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab. 4.(2012·青岛模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝，f(n)＝， (1)计算f(1)，f(2)，f(3)的值； (2)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 5.(1)设两个不相等的正数a、b满足a3－b3＝a2－b2，求a＋b的取值范围. (2)已知a，b，c是△ABC的三边，且＋＜，则∠C的取值范围. 6.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝， (1)计算出a2、a3、a4； (2)猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法进行证明.7.(预测题)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项； (2)证明：－＜＋＋…＋＜(n∈N＋). 8.(2012·洛阳模拟)已知数列{an}、{bn}满足a1＝2，an－1＝an(an＋1－1)，bn＝an－1，数列{bn}的前n项和为Sn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设Tn＝S2n－Sn，求证：Tn＋1＞Tn； (3)求证：对任意的n∈N＋有1＋≤≤＋n成立. 9.(1)记S＝＋＋＋…＋，求S与1的大小关系. (2)设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上单调递减，求f(b－2)与f(a＋1)的大小关系. 10.已知a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1＋an，bn＝，n∈N＋. (1)求b1、b2、b3的值； (2)设cn＝bnbn＋1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证： Sn≥17n. ＋＋－＜1＋＋ ＝1＋＋ ＝1－－＜1， 所以当n＝k＋1时，f(n)＜1也成立. 由①和②知，当n≥3时，f(n)＜1. 所以当n＝1和n＝2时，f(n)＞1；当n≥3时，f(n)＜1. 5.【解析】(1)∵a3－b3＝a2－b2(a≠b)， ∴a2＋ab＋b2＝a＋b，∴(a＋b)2－ab＝a＋b， ∴ab＝(a＋b)2－(a＋b)， 又∵0＜ab＜()2， ∴0＜(a＋b)2－(a＋b)＜()2， 解得1＜a＋b＜. (2)∵(a＋b)(＋)≥4， ∴＋≥， 又＋＜， ∴＜，即c＜， ∴由余弦定理知：cosC＝＞(a2＋b2－) ＝(3a2－2ab＋3b2)＞0 ∴0＜∠C＜. 6.【解析】(1)∵an＋1＝，a1＝， ∴a2＝＝＝， a3＝，a4＝. (2)由(1)知分子是3，分母是以5为首项，6为公差的等差数列. ∴猜想数列{an}通项公式：an＝ 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，由题意可知a1＝，命题成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时命题成立，即ak＝， 那么，当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝. 也就说，当n＝k＋1时命题也成立. 综上所述，数列{an}的通项公式为an＝. 7.【解析】(1)∵an＋1＝2an＋1(n∈N＋)， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列. ∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋). (2)∵＝＝＜， ∴＋＋…＋＜. ∵＝ ＝－＝－ ≥－()，k＝1,2,3，…，n. ∴＋＋＋…＋≥－＋()＞－. ∴－＜＋＋…＋＜(n∈N＋). 8.【解析】(1)由bn＝an－1得an＝bn＋1，代入an－1 ＝an(an＋1－1)得bn＝(bn＋1)bn＋1 整理得bn－bn＋1＝bnbn＋1， ∵bn≠0，否则an＝1，与a1＝2矛盾， 从而得－＝1. ∵b1＝a1－1＝1， ∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列. ∴＝n，即bn＝. (2)∵Sn＝1＋＋＋…＋ ∴Tn＝S2n－Sn＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋) ＝＋＋…＋. 方法一：∵Tn＋1－Tn＝＋＋…＋－(＋＋…＋) ＝＋－ ＝－ ＝＞0， ∴Tn＋1＞Tn. 方法二：∵Tn＋1－Tn＝＋＋…＋－(＋＋…＋) ＝＋－ ＝－ ∵2n＋1＜2n＋2，∴＞. ∴Tn＋1－Tn＞＋－＝0. ∴Tn＋1＞Tn. (3)用数学归纳法证明： ①当n＝1时，1＋＝1