空间中的垂直关系(带答案).docVIP

空间中的垂直关系 专题训练 知识梳理 一线线垂直： 如果两条直线 于一点或经过 后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直 二线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________则称这条直线这个平面垂直.如果一条直线垂直于.直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理： 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 于这个平面 推论②：如果两条直线 同一个平面，那么这两条直线平行. 三面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 ，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直. 2.判定定理：___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理线面垂直的判定及性质例1如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ ） 求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ ） 求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD． ∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD． 又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分） （Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点， ∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC 又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E， ∴ 平面ACF∥平面B1DE． 又∵ AC?平面ACF，∴AC∥面B1DE． 【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1． （Ⅰ ）证明：EA⊥ PB； （Ⅱ ）证明：BG∥ 面AFC． 【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形， 又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA． 而AB∩PA=A 所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB． （Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC． 连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF， 所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M 所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC． 　【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2． （1）证明：AA1⊥ BD （2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1； （3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积． 【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴ BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD?面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O?面A1AC，AC?面A1AC， ∴ BD⊥面A1AC，AA1?面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴ 四边形A1B1CD是平行四边形， ∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B?平面A1BD，A1D?平面A1BD，CD1?平面CD1B1，B1C?平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴ 平面A1BD∥平面CD1B1． （3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高， 在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1， ∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABDA1O=?（）2= ∴ 三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为． 【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥ 底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4， 点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点． （1）求证：AE⊥平面BCC1B1 （2）求四棱锥A﹣B1C1FE的