空间向量与平行关系练习题.doc

课时作业(十八) 一、选择题 1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1l2，则λ＝(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】　l1∥l2，v1∥v2，则＝，λ＝2. 【答案】　B 2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 【解析】　＝λ＋μ，、、共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内． 【答案】　D 3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 【解析】　对于B，＝， 则n·＝(3,1,2)·＝0， n⊥，则点P在平面α内． 【答案】　B 4．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A．lα B．lα C．l与α相交但不垂直 D．lα或lα 【解析】　因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以au.所以lα或lα. 【答案】　D 二、填空题 5．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且αβ，则x的值为________． 【解析】　因为αβ，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0.所以x＝－10. 【答案】　－10 6．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且lα，则m＝________. 【解析】　l∥α，l的方向向量与α的法向量垂直， (2，m,1)·＝2＋m＋2＝0，m＝－8. 【答案】　－8 7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________. 【解析】　＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)， ＝(x－4，－2,0)，由题意知A、B、C、P四点共面， ＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)． ∴ 而x－4＝－2λ－μ，x＝11. 【答案】　11 三、解答题 8. 已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图3-2-7所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m. 图3-2-7 求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面； (2)； (3)＝k. 【解】 (1)由＝＋m，＝＋m，知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面． (2)＝＋m＝－＋m(－) ＝k(－)＋km(－)＝k＋km ＝k(＋m)＝k， ∥. (3)由(2)知＝－＝k－k ＝k(－)＝k. ＝k. 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量． 【证明】　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，＝， ＝，＝(－1,0,0)． ·＝· ＝－＝0， 又·＝0， ⊥，⊥. 又A1D1∩D1F＝D1， AE⊥平面A1D1F， 是平面A1D1F的法向量． 1．(2014·莱芜高二检测)已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，αβ，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4,2，－2) B．(2,0,4) C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2) 【解析】　α∥β，β的法向量与α的法向量须平行，又(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，解得应选D. 【答案】　D 2．(2014·成都高二检测)已知直线l过点P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4,2) B. C. D．(0，－1,1) 【解析】　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D. 【答案】　D3．(2014·连云港高二检测)若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则xy∶z＝________. 【解析】　因为＝，＝， 又因为a·＝0，a·＝0， 所以 解得 所以xy∶z＝yy∶＝23∶(－4)． 【答案】　23∶(－4) 4. 如图3-2-8，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，ABC＝BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由． 图3-2-8 【解】　　分别以AB、AD、AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．则P