第四章点的运动学.docx

第四章 点的运动学一、基本内容点的运动矢量表示法，直角坐标表示法，自然坐标表示法。（1）基本概念在已有物理知识的基础上，重点强调切向加速度，法向加速度与密切面的概念。（2）主要公式二、目标要求1．能用矢量法建立点的运动方程，求点的速度和加速度。2．能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求点的轨迹、速度和加速度。3．能熟练地应用自然坐标法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。4．1运动学的任务和基本概念运动学从几何的观点出发研究物体的机械运动规律，其任务是建立物体运动的描述方法，确定物体运动的各有关特征量，如运动方程、速度、加速度和其他运动学量及相互关系。运动学不涉及运动产生和变化的原因，因而不需引入力和质量等物理量。在运动学里，首先注意的是物体在任何时刻占有空间的位置。要想确定物体在空间的位置，必须选取另一不变形的物体作为参考体；如将坐标系固连于参考体上就构成参考坐标系，简称参考系。若物体的位置对于所选的参考系没有改变，对于这个坐标系来说，该物体是静止的。如果这物体的位置对于所选的坐标系来说是随时间而改变的，则对于这个坐标系来说，物体是运动的。运动与静止是相对的，只有在给定参考系的情形下才有明确的意义。同一物体，对于不同的坐标系，所描述的运动就不相同。在一般工程问题中，总是选取固连于地球上的参考系，本书如不特别说明，选取的参考系都固连于地面上。在运动学中经常用到瞬时与时间间隔两个不同的概念。运动过程的某一时刻称为瞬时，它对应于时间轴上的一个点。两个不同瞬时之间的一段时间称为时间间隔，它对应于时间轴上两个时间点之间的一段区间。在运动学研究中，通常将物体抽象为点和刚体两种模型。所谓点是指具有一定质量且其形状、大小可以忽略不计而只在空间占有确定位置的几何点。而刚体可视为由无穷多个点组成的不变形的集合体。当物体的形状和大小对所研究问题不产生影响时，可以将物体抽象为一个点；反之将物体抽象为刚体。4．2矢量法选取参考系上某确定点0为坐标原点，自点O向动点M作矢量r,称r为点M相对原点O的位置矢量,简称矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即（4-1）上式称为以矢量表示的点的运动方程。动点M在运动过程中，其矢径r的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。显然，矢径r的矢端曲线就是动点M 的轨迹，如图4-1所示。点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数，即(4-2)动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切向并与此点运动的方向一致。速度的大小，即速度矢的模，表明点运动的快慢，在国际单位制中，速度的单位为m/s。点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征速度大小和方向的变化。动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间间隔的二阶导数，即图4-1(4-3)有时为了方便，在字母上方加 “.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。因此,式(4-2)、(4-3)亦可记为(4-4)在国际单位制中，加速度的单位为m/。如在空间任意取一点0,把动点M在连续不同瞬时的速度矢, ,…等都平行地移到点0，连接各矢量的端点就构成了矢量端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图4-2a所示。动点的加速度矢的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行，如图4-2b所示。速度矢端曲线图4-24．3直角坐标法取一固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置既可以用它相对于坐标原点O的矢径表示，也可以用它的三个直角坐标x,y,z表示, 如图4-3所示。由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，因此有如下关系：丨2图4-3式中，，分别为沿三个定坐标轴的单位矢量， 如图4-3所示，由于r是时间的单值连续函数, 因此x,y,z也是时间的单值连续函数。利用式(4-4)，可以将运动方程(4-1)写为(4-5)这些方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。如果知道了点的运动方程式(4-5)，就可以求出任一瞬时点的坐标x,y,z的值，也就完全确定了该瞬时动点的位置。式(4-5)实际上也是点的轨迹的参数方程，只要给定时间的不同数值，依次得出点的坐标x,y,z的相应数值，根据这些数值就可以描绘出动点的轨迹。因为动点的轨迹与时间无关，如果需要求点的轨迹方程，可将运动方程中的时间消去。在工程中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的轨迹为一平面曲线。取轨迹所在的平面为坐标平面0xy，则点的运动方程为（4-6）从上式中消去时间，即得轨迹方程(4-7)将式(4-4)代入到式(4-2)中，由于，和为大小和方向都不变的恒矢量，因此有(4-8)设动点M的速度矢V在直角坐标轴上的投影为，和即(4-9)比较式(4-8)和(4-9)，