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线性变换练习题 一、填空题 1.设为数域上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换：　,则＝_______，＝______，＝_____ . 2．设矩阵的特征值为，为任一多项式，则的特征值为________ . 3.已知三阶方阵的特征值为1，2，3，则的特征值为 ，的特征值为 4.设＝2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于 5.设，则向量是的属于特征值 的特征向量 6.相似于单位矩阵，则=_____. 7.矩阵的特征值是_______ 8. ，则有特征值_______9.阶矩阵的元素全为，则的个特征值是 10. 一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ） 11. 设是维线性空间的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为________变换 . 12．数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为_______维线性空间，它与________同构. 13.设线性变换A在基的矩阵为，线性变换B在基下的矩阵为，那么A+B在基下的矩阵为 . 14．设A=与矩阵B=相似，那么的值分别是 。 15．设A=，（X）=AX是P3上的线性变换，那么的零度= 二、选择题 1.n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 （A）充要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分非必要条件 2.方阵相似于（ ）(A)(B) (C) (D) 3、设的特征值为0，1，2，则=（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4、对于n阶矩阵A ，以下正确的是（ ） (A) 一定有n个不同的特征值 (B) 存在可逆B，使为对角阵 (C) 它的特征值一定是正数 (D) 属于不同特征值的特征向量一定线性无关 5、阶矩阵A与B相似, 则下列结论中不正确的是( ) (A) A与B有相同的迹 (B)A与B有相同的特征值 (C)A与B有相同的特征向量(D) A与B有相同的行列式. 6、若是F上向量空间V的一个线性变换,则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 三、判断题 1、、有相同的特征值，则与相似。（ ） 2、是线性变换，线性无关，则也线性无关.（　　） 3、在向量空间中定义变换：，则是的一个线性变换.　　　（　　） 4、阶方阵至少有一特征值为零的充分必要条件是　　（　　） 5. ．设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝，有　 （　　） 6．设线性变换在给定基下的矩阵为A，那么等于A的秩。（ ） 四、计算与证明 1.表示次数小于3的多项式连同零组成的线性空间，定义A （1）.证明A是上的线性变换。 （2）．求A在基1，下的矩阵。 （3）．说明A是否可以对角化？若可以对角化，找出一组基，使A在该基下的矩阵为对角形。 2. 在线性空间中定义变换： （1）.证明：是的线性变换. （2）.求与 3.在P2x2上定义线性变换 （1）求在基下的矩阵； （2）求的核和； （3）求的. 4.设3阶矩阵A的特征值为, 求 5、判断矩阵是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形. 6、设是的线性变换, 　（1）求的一个基和维数； 　（2）求的一个基和维数． 7、设的线性变换为:,. 求关于标准基的矩阵. 8、设矩阵与相似，求 9、设是的线性变换，是的基，关于该基的矩阵是，，求关于的坐标 10、若线性变换关于基的矩阵为，求关于基的矩阵 11. 试证齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是A有零特征根 12. 设和是A的两个不同的特征值, 对应的特征向量为和, 证明不是A的特征向量 13. 设(是n维向量空间V的一个线性变换，证明下列条件等价: (1)( (V)＝V； (2)ker(＝{0}.