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让“基本图形”走一步，再走一步 　　摘要：任何一个复杂的几何图形往往或是基本图形的变式，或由若干个基本图形组合而成，几何教学中引导学生建立基本图形，并发挥“模型”的教育功能，对锻炼学生的思维、提高学生的解题能力很有帮助。本文基于平时教学实践中对相似三角形中“一线三等角”这一基本图形的提炼、运用、感悟，进而拓展使之升华，将复杂问题简单化，使学生能抓住问题的本质，学会归类，继而做到触类旁通，从而有效地提高学生的解题能力。 　　关键词：基本图形；一线三等角；模型；思维；能力 　　中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0119 　　《数学课程标准（2011版）》中关于“几何直观的培养”中指出：要掌握、运用一些基本图形解决问题，把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，在教学中要有意识地强化对基本图形的应用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆的结果，这应该成为教学中的目标。波利亚在《数学的发现》中认为：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练”。解题在数学学习中有着不容置疑的重要性。笔者认为引导学生理解数学问题的本质，从数学问题中提炼出基本图形，并学会从复杂图形中分离出基本图形，灵活运用基本图形对解决综合问题，提高几何解题能力有较大的帮助。因此，笔者想结合多年的教学实践积累，谈谈自己对“一线三等角”这一基本图形的认识和看法。 　　一、从习题中提炼基本图形，激发学生归纳意识 　　在几何领域中，组成一个几何问题的图形是最简单、最基本、最重要但又是具有特定的性质，能明确地阐明应用条件和应用方法的图形，称为基本图形。基本图形往往在定理或典型的习例题问题中给出。 　　问题：如图1，B、P、D三点共线，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且PA⊥PC，图中两个三角形相似吗？请说明理由。 　　针对这个题目，我们要迅速把握题目的内涵，从而挖掘题目中的内在联系，引领学生进行变式，把条件中三个“直角”换成“60度角”或“130度角”等，推广到一般情况：如图2，B、P、D三点共线，∠B =∠APC =∠D =α°，则△BAP∽△DPC。 　　我们要利用学生思维的正迁移，通过学生的类比探究，感受图形变中不变之处，进而提炼出基本图形――“一线三等角”，化特殊为一般，培养学生的几何建模意识，激发学生探究与归纳知识的意识；同时让学生感受到数学图形的奥妙，引发学生学习数学的兴趣，调动学生学习的积极性。 　　二、在应用中分解基本图形，提高学生的识图能力 　　识图即从几何图形中准确地分解出基本图形的能力，而基本图形的直接应用能加强基本图形的“模型”意识感，这种意识感才能产生一种内驱力，完成基本图形在几何图形中的分解，提高学生的识图能力，为解更复杂的命题做准备。 　　【例1】如图3，两个等边三角形△ABC与△EFG，E、F分别在AB，BC上，写出图中与△BEF相似的三角形。 　　略解：由已知可得∠A=∠GEF=∠B= 60°；∠B=∠EFG=∠C= 60°从图形中分解出“一线三等角”基本图形得到：△CFN、△AME与△BEF相似，易得△GMN与△AME相似，所以与△BEF相似的三角形有△CFN、△AME、△GMN。 　　【例2】如图，一条直线与反比例函数y= 的图象交于A（1，5），B（5，n）两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C，（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；（2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点，试说明△CDE∽△EAF。 　　略解：（1）①用待定系数法得y= ②易得n=1；过点A（1，5）、B（5，1）直线解析式为：y=-x+6，则点D为（6，0）；（2）因为AC⊥x轴，AC=CD=5，则△ACD为等腰直角三角形，所以可得∠CAE=∠CDE =∠FEC=45°，从图形中分解出“一线三等角”基本图形得到△CDE∽△EAF。 　　从例1、例2中发现，虽然是比较复杂的图形，但是我们可以在分析中找到基本图形的条件并分解出这样的基本图形，从而轻松发现相似三角形。实践证明分解法是帮助学生在识图旅途中拾级而上的得力“拐杖”，而模型的定格作用常能迅速抓住问题的核心，使复杂问题迎刃而解。 　　三、在变式中感悟基本图形，宕开学生解题思路 　　数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。学生在例1、例2中已获得了一定的经验，笔者通过对以“一线三等角”为载体的命题的题设、结论、图形等多种变式途径帮助学生对“一线三等角”基本图形进行多角度、多层次的思考，强化学生对基本图形