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函数零点,高考
篇一:高考复习专题:函数零点的求法及零点的个数
函数零点的求法及零点的个数
题型1:求函数的零点。
32
y?x?2x?x?2的零点. [例1] 求函数
3232
y?x?2x?x?2x?2x?x?2?0的根 [解题思路]求函数的零点就是求方程32
[解析]令 x?2x?x?2?0,x(x?2)?(x?2)?0
[解题思路]要求参数a的取值范围,就要从函数y?f?x?在区间??1,1?上有零点寻找关
2x于参数a的不等式(组),但由于涉及到a作为的系数,故要对a进行讨论
[解析] 若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在??1,1?上没有零点, 所以 a?0.
2
令
??4?8a?3?a??8a?24a?4?0
2
, 解得
a?
(x?2)(x?1)(x?1)?0,x??1或x?1或x?2 即函数y?x?2x?x?2的零点为-1,1,2。
[反思归纳] 函数的零点不是点,而是函数函数y?f(x)的图像与x轴交点的横坐标,即零点是一个实数。
题型2:确定函数零点的个数。
[例2] 求函数f(x)=lnx+2x -6的零点个数.
[解题思路]求函数f(x)=lnx+2x -6的零点个数就是求方程lnx+2x -6=0的解的个数
[解析]方法一:易证f(x)= lnx+2x -6在定义域(0,??)上连续单调递增, 又有f(1)?f(4)?0,所以函数f(x)= lnx+2x -6只有一个零点。
方法二:求函数f(x)=lnx+2x -6的零点个数即是求方程lnx+2x -6=0的解的个数
3
2
当
a?
?3?y?f?x??1,1?2时, 恰有一个零点在?上;
y?f?x???1,1? 当f??1??f?1???a?1??a?5??0,即1?a?5时,在上也恰有一个零点。 当
y?f?x?
在?
?1,1?
上有两个零点时, 则
a?0?
???8a2?24a?4?0??1
?1???1?
2a?
f?1??0?
?
f??1??0?
a?
或
a?0?
???8a2?24a?4?0??1
?1???1?
2a?
f?1??0?
?
f??1??0?
?y?lnx
?
即求?y?6?2x的交点的个数。画图可知只有一个。
[反思归纳]求函数y?f(x)的零点是高考的热点,有两种常用方法:
(代数法)求方程f(x)?0的实数根;(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?f(x)的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点。 题型3:由函数的零点特征确定参数的取值范围
2
??fx?2ax?2x?3?a,如果函数y?f?x?在区[例3] (2007·广东)已知a是实数,函数
解得a?
5或
a?
综上所求实数a的取值范围是 a?1 或
。
[反思归纳]二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,也是高
考热点,要深刻理解它们相互之间的关系,能用函数思想来研究方程和不等式,便是抓住了关键.
二次函数f(x)?ax2?bx?c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。 考点3 根的分布问题
[例5] 已知函数f(x)?mx2?(m?3)x?1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围
[解题思路]由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点,应分情况讨论
间??1,1?上有零点,求a的取值范围。
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[解析](1)若m=0,则f(x)=-3x+1,显然满足要求. (2)若m≠0,有两种情况:
?Δ?(m?3)2?4m?0?
??1
xx??0?12
m原点的两侧各有一个,则?m<0;
[解析] B;依题意得(1)
?m?0
?2
???(?2)?4m?0?f(0)?0?
或(2)
?m?0?2
???(?2)?4m?0?f(0)?0?
或
?
?Δ?(m?3)2?4m?0,?
3?m?
?0,?x1?x2?2m?
1?xx??0,12?m?都在原点右侧,则解得0<m≤1,综上可得m(-∞,1]。
?m?0
?2??(?2)?4m?0显然(1)无解;解(2)得m?0;解(3)得m?1 ?(3)
又当m?0时f(x)??2x?1,它显然有一个正实数的零点,所以应选B。
?x22?x?3的实数解的个数为 _______ 。 2、方程
[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点,需要熟练掌握有关二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的分布有关的结论:
方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小?a·f(r)<0.
?Δ?b
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