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初中数学抛物线题目 篇一：初中数学抛物线与几何专题训练及答案 全国各地中考试题压轴题精选讲座 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：y?ax2?bx?c(a≠0)；2、顶点式：y =a(x—h) 2-＋k；3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题， 善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二 次函数y??tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B，C两点（OB∣lt;∣OC∣），连结A，B。 （1）是否存在这样的抛物线F， OA?OB?OC？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQBC，且tanABO=对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OA 【例2】(江苏常州)如图,抛物线y?x?4x与x轴分别相交于点B、O, 它的顶点为 2 2 2 3 ，求抛物线F 2 ?OB?OC来构建关于t、b的方程；(2)讨论 t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。 A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求点A的坐标; （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; （3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S, 点P的横坐标为x, 当4??S?6?,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是y=-2x，所以应讨论当点P在第二象限时，xlt;0、 当点P在第四象限是，x0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x?2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y?x2从点O沿OA方向平移，与直线x?2交于点P，顶点M到A点时停止移动． （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M的横坐标为m, 用m的代数式表示点P的坐标； 当m为何值时，线段PB最短； （3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于PB的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q落在直线OA的下方时、当点Q落在直线OA的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函 数 与x轴交于A、B两点， y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，1 A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tanACO＝． 3 （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F， 使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上 一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. 【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论当直线MN在x轴上方时、当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。 【例5】（山东济南）已知：抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)，顶点C (1，?3)，与x 轴交 于A、B两点，A(?1，0)． （1）求这条抛物线的解析式． （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PMAE于M， PNDB于N，请判断 PMPN 是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． ? BEAD （3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP ，FG分别与边． PAEF AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成 ? PBEG立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． PMAP 【思路点拨】（2）证△APMABE， ? BEAB PNPB 同理:（3）证P