高中数学分堆分配问题.doc

高中数学分堆分配问题 篇一：高中数学排列组合中的分组分配问题 排列组合中的分组分配问题 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 二、基本的分组问题 例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组两本. (2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本. 22分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C26C4C2=90(种) ，这90种分组实 际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A 3 所以分法是3， 222 C6C4C2=15(种)。(2)先分A33 23 组，方法是C1那么还要不要除以A3由于每组的书的本数是不一样的，6C5C3，3？我们发现， 23因此不会出现相同的分法，即共有C16C5C3=60(种) 分法。 11 (3)分组方法是C46C2C1=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组 的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样， CC2C1=15(种)。 不可能重复。所以实际分法是62 A2 通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。 411 结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，?， CC mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是 三、基本的分配的问题 (一)定向分配问题 m1n m2n?m1 C m3 n?m1?m2kk ?Cmp p m A 。 例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本. 分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布 22223 计数原理不难解出：分别有C6C4C2=90(种)，C16C5C3=60(种)， C6C2C1=30(种)。 411 (二)不定向分配问题 例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 每人两本. (2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本. 分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以A 3 即3， 222 C6C4C23=90(种)， A33 A3 CCCA 1625333 3=360(种) C6C2C13=90(种)。 A3 A22 411 结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。 通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。 例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？ 分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是 222411C6C4C2+123+C6C2C1=90(种)。再考虑排列，即再乘以3。所以一共有540种不 CCCA365332 A3A2 同的分法。 四、分配问题的变形问题 例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 分析：恰有一个空盒，