高中数学选修不等式.doc

高中数学选修不等式 篇一：高中数学选修不等式选讲 不等式选讲（高考试题汇编） 一、知识点整合： 1． 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)?f(x)a或f(x)lt;－a； (2)|f(x)|lt;a(a0)?－alt;f(x)lt;a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解． 2． 含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3． 柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号 成立． (2)若ai，bi(iN*nnaaa222)为实数，则(∑a)(∑b)≥(∑ab)，当且仅当＝当某iiiib1b2bni＝1i＝1i＝1nbj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，?，n)时等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立． 4． 不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 二、典型题型 题型一 含绝对值的不等式的解法 例1 (2013·课标全国)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)lt;g(x)的解集； a1－，时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． (2)设a－1，且当x??22a1－?时去绝对值，利用函数最值求a的范围． 审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x??22? 解 (1)当a＝－2时，不等式f(x)lt;g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3lt;0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， 1－5x，xlt;，2??1则y＝?－x－2x≤1，2??3x－6，x1， {x|0lt;xlt;2}． a1(2)a－1 22 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a |其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，ylt;0，所以原不等式的解集是 a1－时，f(x)＝a＋1， 当x??22a1?上恒成立． 即a＋1≤x＋3在x??22? a4∴a＋1≤－＋3，即a≤ 23 4－1，. a的取值范围为?3? 反思归纳 这类不等式的解法是高考的热点． (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤： 求零点；划区间、去绝对值；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 变式训练1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m. (1)当m＝5时，求f(x)0的解集； (2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围． 题型二 不等式的证明 例2 (2012·福建)已知函数f(x)＝m－|x－2|，mR，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； 111＋(2)若a，b，cR，且＋＋m，求证：a＋2b＋3c≥9. a2b3c 审题破题 (1)从解不等式f(x＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m；(2)利用柯西不等式证明． (1)解 因为f(x＋2)＝m－|x|， f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. 111(2)证明 由(1)知＋＝1， a2b3c 又a，b，cR，由柯西不等式得 111a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)??a＋2b＋3c 111≥a2b3c?2＝9. a2b3c?? 反思归纳 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的． 变式训练2 已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)lt;4的解集为M. (1)求M； ＋ (2)当a，bM时，证明：2|a＋b|lt;|4＋ab|. 题型三 不等式的综合应用 例3 (2012·辽宁)已知f(x)＝|ax＋1|(aR)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}． (1)(转载于:www.XltkWJ.Com 小 龙文档 网:高中数学选修不等式)求a的值； ?x?≤k恒成立，求k的取值范围． (2)若?f?x?－2f??2? 审题破题 (1)|ax＋1|≤3的解集为[－2,1