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小学语文六下课本奥数网 篇一：小学六年级奥数教材(下册) 第六讲 最大与最小问题 第六讲 最大与最小问题 先看一个简单的问题： 妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分 钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为 了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？ 这个题目，取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》. 开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不 洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图 从上图中很容易看出，最省时间的办法是：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分 钟，在等待水开的过程中，可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用 16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间完成了工作. 像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称 为最大与最小问题. 在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从 一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工 作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一 种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提 下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的 应用. 一、数、式、方程（组）中的最大最小问题 例1 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 分析与解答 这要考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考： 第六讲 最大与最小问题 要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘 一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数. 拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3＞5，所以加数大于4的 数还要继续拆小. 由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中可以不出现4. 拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积 为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3. 因为14=3×4+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大. 对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思路，又要注意限制条件，对于字母则 要根据其特点进行讨论分析. 例2 已知p?q-1=x，其中p、q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是____. 分析与解答 由p?q-1=x，x为奇数可知， q?p=x+1是偶数 又因为p、q为质数，所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p=2. 为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值： 2×997-1=1993. 方程中有参数和其他条件，也可能出现最大或最小问题. 自然数，则最小自然数a=____. 的根为 分析与解答 由原方程可得 第六讲 最大与最小问题 例4 求同时满足a+b＋c＝6，2a-b＋c=3，且b≥c≥0的a的最大值及最小值. 分析 既然是求a的最大值及最小值，就要想办法将b及c用a的代数式表示出来，再根据 b≥c≥0来求.求b及c可将a＋b＋c＝6，2a-b+c=3看作含b、c的二元一次方程组 二、统筹方法中教学思想方法的初步应用 在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子，统筹方法是生产建设和 企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工 作效率、保证工作质量是十分有效的，所用数学思想是朴素而精彩的. 例5 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分 钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺 序，使所有人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值. 分析 这是我们经常遇到而不去思考的问题，其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一 第六讲 最大与最小问题 共有5×4×3×2×1=120种顺序，要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较，就太繁琐 了.凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求 解. 解：首先证明要使所用总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置. 假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位 （其中2≤b≤5），我们将这两个人位置交换，其他三人位置不动.这样调整以后第b位后