计算动力学第一章讲述.ppt

运动微分方程 坐标原点仍取在静平衡位置 写成矩阵形式 运动微分方程 式中： 运动微分方程 [M]称为系统的质量矩阵，[K]称为刚度矩阵，[C]称为阻尼矩阵，{x}为系统的位移列阵，{F(t)}为外激励列阵。 对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 由于矩阵[M]、 [K]、 [C]的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。 自由振动问题 自由振动问题 特征方程 特征根－纯虚根 上述方程有非零解，要求系数矩阵的行列式为零 自由振动问题 满足上述方程的 特征向量 自由振动问题 振型： 第一阶振型 第二阶振型 方程的解 §1.5 非线性振动概述 非线性特性 材料非线性 振幅过大超出材料线弹性范围 几何非线性 位移或变形过大使结构几何形状显著变化 非线性阻尼 材料内摩擦阻尼、流体阻尼等都是非线性阻尼 负刚度负阻尼 有些情况下会存在负刚度和负阻尼 非线性系统 当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。 非线性振动概述 非线性振动的研究方法 非线性振动研究的方法有：定性分析、定量分析和数值分析方法。 非线性振动研究的内容 非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。 定性法 研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时间历程。通常采用几何方法描述系统的运动特征。 定量法 通过一些渐近的解析方法研究系统运动的时间历程。 数值法 通过数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。 非线性振动与线性振动的区别 线性振动 非线性振动 自由振动频率与初始条件无关 自由振动频率与振幅有关 强迫振动频率与激励力频率相等 强迫振动频率成分复杂，有时与激励频率不相等的频率成分突出 稳定平衡位置附近的运动是稳定的 稳定平衡位置附近具有多种稳定和不稳定运动 强迫振动中每个激励频率有一个对应的振幅 强迫振动中幅频与相频曲线发生弯曲，产生多值性 叠加原理成立 叠加原理不成立 典型微分方程类型 单摆方程 库仑（Coulomb)摩擦振动方程 典型微分方程类型 单摆方程 库仑（Coulomb)摩擦振动方程 典型微分方程类型 范德波（van der Pol）方程 希尔(HiIl)方程 单摆 由牛顿第二定律： 非线性方程 式中角频率： 单摆 线性化处理 忽略3次以上的高次项 得线性方程 单摆 令 代入方程得得特征方程： 特征根： 得通解为： 式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件： 将 写成指数形式后得： 该式是振幅为P，角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。 单摆 周期与摆角无关？ 看看实验结果： 定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形 单摆周期数学表达式 对方程 乘以 后积分 其中 积分 设t = 0时， ，周期为 T，在 时应有 ，故有： 最后得： * 大连理工大学运载工程与力学学部 §1.1 振动的概念 §1.2 单自由度系统自由振动 §1.3 单自由度系统强迫振动 §1.4 两个自由度系统的振动 §1.5 非线性振动概述 第1章 绪论 §1.1 振动的概念 振动：就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动。 振动系统：在振动问题中所研究的对象。如机器或结构物等。 激励：外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。 响应：机器或结构在激励作用下产生的动态行为。 振动的概念 振动分析：研究振动系统、激励(输入)和响应(输出)三者之间的关系。 力学基本模型 振动系统的力学基本模型中包括三个基本“元件”：质量块、弹簧和阻尼器。 质量块: 是物体惯性大小的度量。 弹簧: 表示振动系统弹性的理想模型。 阻尼器: 任何振动在没有外界干扰(激励)时都会逐渐消失，因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。 振动机理 任何结构，之所以能产