1数学数理方程建立要素.ppt

当研究对象内部没有热源 ，即  其热传导方程为： 二、扩散方程的建立 由于浓度(单位体积内的分子数或质量)的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，这种现象叫做扩散。扩散运动的强弱可用“单位时间里通过单位横截面积的原子或分子数”表示，这叫做扩散强度，记作 . 扩散运动的起源是浓度不均匀，浓度不均匀的程度可用浓度梯度表示，根据实验结果，扩散定律为： (负号表示扩散转移的方向为浓度 减少的方向)，D为扩散系数． 在扩散问题中研究的是浓度在空间中的分布及在时间中的变化，仿照热传导问题，可导出扩散方程 物理模型 考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻 t 的分布规律。 数学模型 其中： u(x,y,z,t)表示于时刻 t 在 (x,y,z) 处的物质浓度 f (x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的物质量 D 为扩散系数 描述扩散运动有两个基本定律：1、质量守恒定律；2、菲克定律 将菲克定律表达式代入： 若三维空间中各向均匀、同性物体，则D为常数 非饱和土壤水运动方程建立 1、非饱和土壤水流动的达西定律 q为单位时间内通过单位面积土壤的水量 式中，z前的正负号，视z坐标的方向而定，z坐标向上为正时取正号，z坐标向下为正时取负号． 在直角坐标系中，达西定律沿三个方向的 表达式为： 根据物质量守恒： 将 q代人得到： 由于导水率一般是含水率的函数，因此方程是比较复杂的，求解一般是困难的。一般采用数值求解。 方程的几种形式： 1、以基质势为因变量的基本方程 非饱和土壤导水率k和比水容量C均可表示为土壤含 水率的函数, 或基质势的函数。即： 对于竖直一维运动： 2、以含水率 为因变量的基本方程 定义非饱和土壤水的扩散率 对于一水平维运动:一维竖直运动： 3、以位置坐标x或z为因变量的基本方程 对于某些较为简单的情况，用解析或半解析方法对非饱和流动求解时，将位置坐标作为未知函数，此时，含水率以隐函数的形式表示， 第三节 稳定场方程 当研究物理量不随时间变化，只与空间位置有关时，上述两类方程变为： 数学物理方程与特殊函数 2015年3月 数学物理方程通常是从物理问题导出的函数方程，主要是偏微分或积分方程。它描述了许多自然界的物理现象，并能解决生产及科学技术上的重要问题。其处理问题的大致步骤是： 1、将物理问题根据有关定律建立数学模型，即定解问题（泛定方程+定解条件） 2、解定解问题 3、对所得解通过数学的论证和客观实践的检验鉴定其正确性，并解释解得物理意义。 1、波动方程 2、输运方程 3、稳定场方程 除这些典型方程外，由于研究对象和目的不同，还有其他形式。 数学物理方程按照所代表的物理过程一般分为三类： 第一章 典型方程与定解条件 一、弦的微小横振动方程的建立 本节以弦振动为例，讨论如何把物理规律转化为数学物理方程，要求掌握这种方法.　数学物理方程的导出步骤为： 1、确定研究的物理量u . 2、从研究的系统中任取一部分，根据物理规律分析邻近部分和这小部分的相互作用，并略去不重要的因素. 3、将相互作用在短时间内如何影响物理量u， 用算式表达出来. 4、化简整理得数学物理方程. 设弦的长度为 ，密 度为 ，把它绷紧固定 在 上，在不振动时是 一条直线，取直线的方向 为x轴，如图所示，当它在平衡位置附近作垂直于x 轴的微小振动时，研究弦上各点的位移u与坐标x 及时间t 的关系即 (2) 其中 是横向加速度 ，对于小振动， 令 时，则有 其中： 令 当无外力作用： 说明：设弦是完全柔软的弹性体 无弯曲刚度，所以张力总是沿着弦线振动的切线方向. 即便设在振动时弦的截面的变化可忽略不计，弦的线密度满足下式：  均匀杆纵振动方程建立 设杆的截面积为S,杨氏模量为E，用 表示在X位置在t 时刻杆的纵向位移。杆的应变（相对伸长）为： 杆的轴向应力与轴向应变： 设杆的横截面在振动过程中始终保持为平面，即每一截面内诸质点仅沿杆的轴线运动。实际上，由于纵向伸长或压缩横向是有变形的，但假设纵波的波长比杆的横截面积大，横向位移对纵向